Probabilità in teoria dei numeri

[amatrix92]

ok, allora preferisco non rispondere al "Secondo te?" poichè le mie conoscenze in questo settore della fisica si limitano alla meccanica Newtoniana.
Comunque tralasciando questa presunta curvatura dell'universo della quale sono vergognosamento ignorante, se io prendo tre montegne equialte per foprmare un triangolo, ad una distanza l'una dall'altra molto elevata, non è ovvio che le sommme degli angoli non siano un angolo piatto per il fatto della curvatura non dell'universo, ma semplicemente della terra?

[Spammowarrior]

einstein non ha dimostrato che lo spazio è localmente non euclideo?

la questione è se sia universalmente non euclideo, credo.

edit: non ho capito, se congiungi la cima delle tre montagne con delle linee rette, in che modo influisce la curvatura della terra?

[Tibor Gallai]

non è ovvio che le sommme degli angoli non siano un angolo piatto per il fatto della curvatura non dell'universo, ma semplicemente della terra?

No, appunto perché le cime delle montagne sono visibili le une dalle altre (per questo vengono scelte come vertici della triangolazione, tra l'altro).
E grazie ad Allah, la luce non segue le geodetiche terrestri, altrimenti mettendoci sull'Everest e puntando un telescopio in orizzontale in qualsiasi direzione, vedremmo sempre solo noi stessi. Che sarebbe anche simpatica come cosa, ma t'assicuro che non succede.

[Spammowarrior]

non è ovvio che le sommme degli angoli non siano un angolo piatto per il fatto della curvatura non dell'universo, ma semplicemente della terra?

No, appunto perché le cime delle montagne sono visibili le une dalle altre (per questo vengono scelte come vertici della triangolazione, tra l'altro).
E grazie ad Allah, la luce non segue le geodetiche terrestri, altrimenti mettendoci sull'Everest e puntando un telescopio in orizzontale in qualsiasi direzione, vedremmo sempre solo noi stessi. Che sarebbe anche simpatica come cosa, ma t'assicuro che non succede.

ho una curiosità, a questo punto.

supponiamo che l'universo abbia velocità di espansione inferiore alla velocità critica e bla bla bla, cioè l'universo è sferico o ellittico.
visto che la luce allora segue questi piani curvi, in teoria (molto in teoria) puntando un telescopio posso vedere me stesso, giusto?

[amatrix92]

edit: non ho capito, se congiungi la cima delle tre montagne con delle linee rette, in che modo influisce la curvatura della terra?

Attraverso la mia fervida immaginazione

[Tibor Gallai]

visto che la luce allora segue questi piani curvi, in teoria (molto in teoria) puntando un telescopio posso vedere me stesso, giusto?

Se non intercetti una stella, un Dio o altre cose, tutte comunque molto rarefatte perché l'universo è in gran parte vuoto, teoricissimamente credo che la risposta sia sì. Però non sono un astrofisico, quindi boh.

[Claudio.]

sbaglio o lo spazio privo di materia dovrebbe essere euclideo?

[Tibor Gallai]

Una cosa è la curvatura locale dello spazio-tempo determinata dalla massa, un'altra è che lo spazio di per sé sia globalmente euclideo o no.

[Claudio.]

Una cosa è la curvatura locale dello spazio-tempo determinata dalla massa, un'altra è che lo spazio di per sé sia globalmente euclideo o no.

Ah...sinceramente non ho mai letto niente su questo, ho sempre pensato che la curvatura nascesse solo in presenza della massa....forse non è così scontato

[SkZ]

mi pare che si dimostri che non puoi vedere te stesso.
A parte il fatto che vedresti casomai te stesso di miliardi di anni fa, ergo...

[Tibor Gallai]

Sì, non vedrei nemmeno uno spermatozoo.

[Nonno Bassotto]

Signori, va bene un po' di OT, ma non era un problema sui numeri coprimi?

[Tibor Gallai]

Assumevo che il thread sarebbe stato spezzato dopo i primi post, quindi sono andato avanti a chiacchierare.

[kn]

Se per probabilità intendiamo $ \displaystyle~\lim_{n\to+\infty}\frac{\text{numero di coppie }(k,m)\text{ con k e m primi tra loro e }\le n}{n^2} $ allora si può fare in un modo un po' più rigoroso, calcolando $ \displaystyle~\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\varphi(k)}{n^2} $.
Sappiamo che vale (v. qui, eq. 1)
$ \displaystyle~\varphi(k)=\sum_{i|k}\mu(i)\cdot\frac{k}{i}=\sum_{(i,j):ij=k}\mu(i)j $
dunque $ \displaystyle~\sum_{k=1}^n \varphi(k)=\sum_{(i,j):1\le ij\le n}\mu(i)j=\sum_{i=1}^n\mu(i)\sum_{1\le j\le \frac{n}{i}}j $ (con $ \displaystyle~(i,j) $ indico la coppia)
Sappiamo che la seconda somma fa $ \displaystyle~1+\ldots+\left\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor=\frac{1}{2}\cdot\left\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\left\left\lfloor\frac{n}{i}+1\right\rfloor $ e che $ \displaystyle~\frac{1}{2}\cdot\frac{(n-i)n}{i^2}<\frac{1}{2}\cdot\left\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\left\left\lfloor\frac{n}{i}+1\right\rfloor\le\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+i)}{i^2} $, quindi $ \displaystyle~\sum_{i=1}^n\mu(i)\frac{(n-i)n}{2i^2}<\sum_{k=1}^n\varphi(k)\le\sum_{i=1}^n\mu(i)\frac{n(n+i)}{2i^2} $. Dividendo per $ \displaystyle~n^2 $ e facendo il limite per $ \displaystyle~n\to+\infty $
$ \displaystyle~\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n\mu(i)\frac{1-\frac{i}{n}}{2i^2}\le\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\varphi(k)}{n^2}\le\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n\mu(i)\frac{1+\frac{i}{n}}{2i^2} $ (per la permanenza del segno), ovvero
$ \displaystyle~\lim_{n\to+\infty}\frac{\sum_{k=1}^n\varphi(k)}{n^2}=\sum_{i\ge 1}\frac{\mu(i)}{2i^2} $
(infatti $ \displaystyle~\left|\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n\mu(i)\frac{\frac{i}{n}}{2i^2}\right|\le\lim_{n\to+\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{2in}\le\lim_{n\to+\infty}\frac{1+\ln n}{2n}=0 $)