OliForum Matematico

SkZ ha scritto:
Spammowarrior ha scritto:@julio14

perchè dovrebbe dimenticarsi il concetto di "funzione definita con un'unica formula?
mica è un concetto sbagliato
sarebbe sbagliato se pensasse che quelle sono le uniche funzioni, ma non mi sembra che l'abbia scritto. sono d'accordo con edriv, è bene che abbia le idee chiare in testa, ma il concetto di per se non è sbagliato ed è anche abbastanza comodo. poi hai anche tu ragione a precisare, perchè hai chiarito dei dubbi.
colpa mia che ho interpretato male la domanda, pensavo chiedesse "tra le funzioni più importanti".
perche' tali funzioni in realta' non esistono.
esistono solo funzioni con nomi ormai standardizzati.
prova a farmi un esempio e vedrai che in realta' non e' definita da una formula.
O per lo meno tali funzioni" penso si possano ridurre alle sole trasformazioni lineari

uhm, scusa, effettivamente formula non è il termine corretto, intendo dire che sono funzioni a cui viene attribuito un nome ed una particolare simbologia (che sia cotan oppure sigma) più o meno universalmente riconosciute. so che è una definizione che lascia un po' il tempo che trova ma avevo interpretato la richiesta dell'OP come "quali tra le funzioni più importanti sono discontinue?", che, sebbene non abbia un interesse matematico immenso, può essere una curiosità che è utile soddisfare, se non altro per conoscere qualche altra funzione che si trova comunemente.

Spammowarrior ha scritto:[...] avevo interpretato la richiesta dell'OP come "quali tra le funzioni più importanti sono discontinue?", che, sebbene non abbia un interesse matematico immenso, può essere una curiosità che è utile soddisfare, se non altro per conoscere qualche altra funzione che si trova comunemente.

sì detta in altro modo era questa la domanda, grazie a tutti in ogni caso delle risposte, mi sono chiarificato un po' le idee, che come divcevi tu nel post precedente erano un po' confuse

Spammowarrior ha scritto:uhm, scusa, effettivamente formula non è il termine corretto, intendo dire che sono funzioni a cui viene attribuito un nome ed una particolare simbologia (che sia cotan oppure sigma) più o meno universalmente riconosciute. so che è una definizione che lascia un po' il tempo che trova ma avevo interpretato la richiesta dell'OP come "quali tra le funzioni più importanti sono discontinue?", che, sebbene non abbia un interesse matematico immenso, può essere una curiosità che è utile soddisfare, se non altro per conoscere qualche altra funzione che si trova comunemente.

ma_go ha scritto:ficco il naso anch'io in questa discussione:
- prima cosa: una funzione $ f:A\to B $ e' un sottoinsieme di $ \Gamma_f = A\times B $ tale che per ogni $ a\in A $ esiste un unico $ b\in B $, denotato $ f(a) $ tale che $ (a,b)\in \Gamma_f $ (detto in modo piu' allegro, "una funzione e' il suo grafico").
- seconda cosa: questa definizione non illumina particolarmente, perche' a questo punto uno si chiede come sono fatti i sottoinsiemi di $ A\times B $, diciamo $ \mathbb{R}\times\mathbb{R} $ per comodita', e se sono tutti "esprimibili con una formula" o qualcosa di simile. escludere questo fatto richiede ragionamenti piu' sottili, che sicuramente esulano dal glossario e di certo non sono "teoria di base".
- terza ed ultima cosa: parlare di "funzioni costruibili a partire da funzioni elementari", nel modo delineato prima da edriv e poi da julio14, ha perfettamente senso e ha dato origine a problemi di un certo interesse (direi sia folkloristico, sia pratico, sia matematico) in passato; che mi venga in mente, c'e' il classico problema di capire quali funzioni "elementari" siano "integrabili tramite funzioni elementari" e quali no.

il fatto e' che si intende per "funzione elementare"? Gia' seno e coseno non sono banali da definire. In Matematica sono definite molte funzioni poco note (mi pare che esista un nome anche per la primitiva della gaussiana), come si puo' vedere con la funzione caratteristica: poco nota al liceo, ma comune in corsi universitari (classico esempio usato per differenza tra integrale di Riemann e di Lebesgue)
la mia domanda e' posta per curiosita' dato il passaggio "illustre"(

) ergo ha una risposta abbastanza nota, ritengo.

Spammowarrior ha scritto:ah, un altra cosa, funzioni continue in N e Q non esistono, perchè gli insiemi di definizione sono fatti unicamente di punti isolati

Io per fortuna con l'analisi ho chiuso, ma non mi pare che i punti di Q siano particolarmente isolati, anzi...

in effetti, ogni punto di $ ~\mathbb{Q} $ e' di accumulazione, se ben ricordo. Appunto perche' denso

Pigkappa ha scritto:
Spammowarrior ha scritto:ah, un altra cosa, funzioni continue in N e Q non esistono, perchè gli insiemi di definizione sono fatti unicamente di punti isolati
Io per fortuna con l'analisi ho chiuso, ma non mi pare che i punti di Q siano particolarmente isolati, anzi...

ovviamente intendevo Z

comunque adesso che ci penso il fatto che Q sia fatto di punti di accumulazione non mi è mica così scontato...
dove trovo una dimostrazione?

SkZ ha scritto:
ma_go ha scritto:- terza ed ultima cosa: parlare di "funzioni costruibili a partire da funzioni elementari", nel modo delineato prima da edriv e poi da julio14, ha perfettamente senso e ha dato origine a problemi di un certo interesse (direi sia folkloristico, sia pratico, sia matematico) in passato; che mi venga in mente, c'e' il classico problema di capire quali funzioni "elementari" siano "integrabili tramite funzioni elementari" e quali no.
il fatto e' che si intende per "funzione elementare"? Gia' seno e coseno non sono banali da definire. In Matematica sono definite molte funzioni poco note (mi pare che esista un nome anche per la primitiva della gaussiana), come si puo' vedere con la funzione caratteristica: poco nota al liceo, ma comune in corsi universitari (classico esempio usato per differenza tra integrale di Riemann e di Lebesgue)
la mia domanda e' posta per curiosita' dato il passaggio "illustre"( ) ergo ha una risposta abbastanza nota, ritengo.

la risposta sta nella frase che ho grassettato: l'approccio di edriv e julio, parafrasando, è: prendiamo delle funzioni che ci piacciono, alcune in una variabile (seno, coseno, esponenziale, opposto, inverso, ad esempio) altre in due (somma, prodotto) altre "funzioni di funzioni" (ovvero l'inversa insiemistica, o sue opportune restrizioni) e chiamiamo tutte le funzioni di una variabile che possiamo ottenere componendo (se vuoi, stringhe di simboli che abbiano senso) elementari.
e, in risposta alla domanda che ti stai ponendo, sì, è arbitrario

Spammowarrior ha scritto:comunque adesso che ci penso il fatto che Q sia fatto di punti di accumulazione non mi è mica così scontato...
dove trovo una dimostrazione?

$ ~p\in X $ e' detto di accumulazione per X se
$ ~\forall I\;\textrm{intorno di}\; p,\; I\cap X\setminus \{p\}\neq \varnothing $
aggiungi che e' denso...

usando palle aperte adeguatamente definite 'e semplice

ergo mi definisco una "base di funzioni elementari" e poi con questa faccio le mie considerazioni.
Appunto: un po' arbitrario.
Dal mio punto di vista la funzione caratteristica e' "piu' elementare" che l'eponenziale

Spammowarrior ha scritto:[...] ah, un altra cosa, funzioni continue in N e Q non esistono, perchè gli insiemi di definizione sono fatti unicamente di punti isolati

Certo che esistono funzioni continue definite su $ \mathbb N $ o su $ \mathbb Q $. Dirò di più: se come insieme di definizione prendi i naturali o gli interi, tutte le funzioni che puoi definire sono continue.

Attenzione: l'insieme delle funzioni continue tra due qualsiasi sottoinsiemi non vuoti dei numeri reali non è mai vuoto. Un esempio di funzioni sempre continue qualunque sia l'insieme di definizione è dato dalle funzioni costanti.

Ani-sama ha scritto:
Spammowarrior ha scritto:[...] ah, un altra cosa, funzioni continue in N e Q non esistono, perchè gli insiemi di definizione sono fatti unicamente di punti isolati
Certo che esistono funzioni continue definite su $ \mathbb N $ o su $ \mathbb Q $. Dirò di più: se come insieme di definizione prendi i naturali o gli interi, tutte le funzioni che puoi definire sono continue.

Attenzione: l'insieme delle funzioni continue tra due qualsiasi sottoinsiemi non vuoti dei numeri reali non è mai vuoto. Un esempio di funzioni sempre continue qualunque sia l'insieme di definizione è dato dalle funzioni costanti.

uhm, una funzione f(x) non è continua se
$ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) = f(x) $
(con h reale)
?
in questo caso una funzione sugli interi non è continua perchè
$ \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} f(x+h) $
non esiste (visto che la funzione non è definita in x+h)

dove sbaglio il ragionamento?

sbagli nel dire che quel limite non esiste: quel limite *non ha senso*. e poi in realta' sbagli nella definizione di funzione continua, ma non e' argomento da glossario.

comunque, qui stiamo andando off-topic, quindi chiudiamola qui: se volete, aprite una discussione in matematica non elementare, perche' qui si va a parlare quantomeno di analisi (e in realta' di topologia).

Infatti. Per ora vi conviene pensare che si possa parlare di continuità solo in ogni punto x tale per cui esista un intervallo $ (x-\varepsilon,x+\varepsilon) $ su cui la funzione è definita. Se non avete un pochino di topologia alle spalle, parlare degli altri casi serve solo a mettervi più confusione in testa.
Non sono cose complicatissime, ma le cose è meglio vederle una prima volta con calma e nei casi semplici. Così come nessuno vi ha fatto gli assiomi di Peano in prima elementare...

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Esistono anche funzioni NON continue?