f(f(x)^2 + f(y)) = xf(x) + y.

[Federiko]

$ \displaystyle f(x^2+f(y))=xf(x)+y=f([f(x)]^2+f(y)) $

1) perchè?
2) poi,perchè per escludere che ci siano funzioni miste poni f(x)=x e f(y)=-y?a quale assurdo arrivi?
3) quando dimostri che è iniettiva,definisci:
g(x)=F(0)^2+f(x),poi dici "allora il mio passaggio diventa "f(g(y))=y" perchè?

1) se metti nell'equazione iniziale f(x) al posto di x, sfruttando o meno che f(f(x))=x ottieni il passaggio.
2) sostituisci nell'equazione iniziale. Hai $ f(x^2-y)=x^2+y $ che è assurdo dato che f(x) fa o x o -x.
3) Guarda il primo passaggio che ho scritto. Per definizione f(f(0)^2+f(x))=f(g(x))

[danielf]

supponiamo che

$ f([f(0)]^2 + f(y')) = f([f(0)]^2 + f(y)) $

il lhs è uguale a y', il rhs è uguale ad y (per la proprietà dimostrata) quindi y'=y, come richiesto

l'assurdo consiste nell'aver trovato y'=y?

[Spammowarrior]

non è un assurdo, è che la definizione di iniettività è: se f(a)=f(b), allora a=b