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$ \nu_2(\frac{2n!}{n!^2})=\nu_2(2n!)-2\nu_2(n!)=2n-S_2(2n)-2(n-S_2(n))=\\=2S_2(n)-S_2(2n)=S_2(n) $
perchè se moltiplichiamo l'espressione in base p di un numero per p la somma delle cifre non cambia dato che aggiungiamo uno zero al coefficente di $ \displaystyle p^0 $ e spostiamo tutti gli altri coefficenti!

un hint sul primo fatto?

Te l'ha dato EvaristeG.
Un'esplicitazione del suo hint è: osserva cosa succede modulo $ $p^{\nu_p(b)} $.

ah ok l'avevo capito male per quella disuguaglianza che mi sembrava sbagliata...

comunque
$ a+b+c=0, $
$ k=\nu_p(a), m=\nu_p(b), n=\nu_p(c), $
$ k\leq m\leq n $

$ a+c\equiv 0 (mod p^m) $ ma se $ p^m|b $ allora $ p^m|c $ se $ m\leq \nu_p(c) $
quindi $ a\equiv 0 $ ma quindi $ p^m|a $ e $ p^{m+1} $ non divide a visto che $ k\leq m $
quindi $ \nu_p(a)=\nu_p(b)=m $