Bene, allora non hai capito granché.
1. La scrittura $ \sqrt{2} $ ha
un unico univoco significato, ovvero indica
l'unico reale positivo x tale che $ x^2=2 $.
Quindi non è possibile "calcolare le due radici" di modo che il risultato non sia 2 .. certo, tu puoi usare delle espressioni approssimate della radice di 2, allora ovviamente (ad esempio) $ 1.4\cdot1.4\neq 2 $. Ma qui non si stava parlando di "approssimazioni".
Il fatto è che le due soluzioni di $ x^2=2 $ sono "indistinguibili" tranne che per il segno, infatti entrambe sono cose che al quadrato fanno 2, ma una è positiva e l'altra è negativa.
Per convenzione il simbolo $ \sqrt{2} $ intende essere la radice positiva. Con tale convenzione funzionano tutte le regole solite.
2. Nei numeri complessi non c'è un ordinamento che "funzioni bene" con le operazioni algebriche, cioè per cui valgano tutte quelle relazioni del tipo: se a>b allora a+c>b+c etc etc. Quindi non c'è modo di distinguere le due soluzioni dell'equazione in base al "segno", visto che non c'è modo di dire che segno ha un numero complesso.
Per di più, si può dimostrare che non esiste nessuna convenzione sul come scegliere una tra le due soluzioni per essere "la" radice quadrata di modo che tornino tutte le proprietà dell'usuale radice sui reali positivi.
NB(che forse confonde più che chiarire): puoi vederla così: l'unico caso in cui le due soluzioni di $ x^2=a $ coincidono è per a=0. Se si elimina lo 0 dai numeri reali, questi restano divisi in due pezzi, positivi e negativi (rappresentando i reali come una retta, senza lo zero ho due semirette disgiunte). Se si elimina lo 0 dal piano di Gauss su cui si rappresentano i complessi rimane comunque un pezzo solo, ma con un buco
. Scegliere la radice quadrata sui reali è come scegliere uno dei due pezzi, ma sui complessi il pezzo è uno solo, quindi niente da fare.