OliForum Matematico

Mi spiego un po' più esplicitamente (faccio che scrivere una piccola soluzione, ma se non volete bruciarvelo non guardate il testo nascosto).

Claudio. ha scritto:Il possessore del posto rubato può trovarsi in qualsiasi posizione tranne che primo, con la stessa probabilità, quindi la probabilità che si trovi in una qualsiasi posizione è $ \frac1{199} $.
Adesso se è secondo abbiamo che tutti si siedono a caso, la probabilità che la poltrona dell'ultimo venga lasciata libera è uguale alla probabilità che qualsiasi altra poltrona(che adesso sono 199) venga lasciata libera quindi $ \frac1{199} $, se è terzo la probabilità dovrebbe essere $ \frac1{198} $ e così via fino a $ \frac12 $.
Quindi la probabilità dovrebbe essere $ \displaystyle \frac1{199}\sum_{k=2}^{199}{\frac1k} $
Dove sbaglio?

Prova a vederla così: se quello con il posto rubato arriva secondo la probabilità cercata è $\frac{1}{199}$ per la probabilità che quelli dopo il secondo (e il secondo) non prendano il posto dell'ultimo, che è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$. Se invece arriva terzo la probabilità (da moltiplicare per $\frac{1}{199}$) è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{200}$, e così via, quindi la probabilità finale è $\frac{1}{199}\sum_{i=1}^{199}\frac{i}{200}$, che è $\frac{1}{2}$. Alla fine bastava sfruttare il fatto che quelli tra il primo e il possessore del posto rubato non hanno scelta.
Spero di essermi spiegato.
Edit: scusate avevo invertito il ragionamento, niente complementari...

Sinceramente non ho capito, la probabilità che il possessore del posto sia nella posizione n non è 1/199 ma 1/200...perchè coincide con la probabilità che il primo si sieda nel posto n su 200 posti(perchè può anche sedersi nel suo)...Una volta che il primo si è seduto nel posto n(non il suo),abbiamo che n-2 persone si siederanno ai loro posti, arrivati alla persona n, abbiamo che il primo si è seduto nel posto n, e tutti gli altri ai loro, quindi rimangono 200-(n-1) posti tra cui quello che spetta all'ultimo, tutti si siederanno a caso, quindi la probabilità che un posto rimanga vuoto è uguale per tutti i posti quindi vale $ \frac1{200-(n-1)} $ che va poi moltiplicata per $ 1/200 $

Quando tu dici che la probabilità che sia secondo è 1/199, vuol dire che parli del caso in cui il primo non si è seduto al proprio posto, e quindi devi anche moltiplicare per 199/200 che è la probabilità che questo accada.

Euler ha scritto: Prova a vederla così: se quello con il posto rubato arriva secondo la probabilità cercata è $\frac{1}{199}$ per la probabilità che quelli dopo il secondo (e il secondo) non prendano il posto dell'ultimo, che è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$. Se invece arriva terzo la probabilità (da moltiplicare per $\frac{1}{199}$) è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{200}$, e così via, quindi la probabilità finale è $\frac{1}{199}\sum_{i=1}^{199}\frac{i}{200}$, che è $\frac{1}{2}$. Alla fine bastava sfruttare il fatto che quelli tra il primo e il possessore del posto rubato non hanno scelta.
Spero di essermi spiegato.
Edit: scusate avevo invertito il ragionamento, niente complementari...

Tu dici che la probabilità che, quando è secondo, l'ultimo prenda il suo posto è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$ come se restassero ancora 200 posti liberi, in realtà ne restano 199(tra cui ovviamente quello dell'ultimo) quindi la probabilità è $\frac{198}{199}\cdot \frac{197}{198}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{199}$, questo puoi notarle anche perchè 1/2 che è l'ultima probabilità che hai scritto tu, è la probabilità che il penultimo non prenda il posto dell'ultimo, quindi nella produttoria ci deve essere una frazione per ogni uomo dal secondo fino al penultimo essi compresi, questi sono 200-2(il primo e l'ultimo)=198, mentre nella tua produttoria ci sono 199 fattori. Stessa cosa anche quando occupa le altre posizioni, poi resta il fatto che ho scritto prima, sulla probabilità della posizione.

L'unica spiegazione a quel 199/200 che metti come primo fattore dovrebbe essere che è la probabilità che il primo non sieda nel suo stesso posto, ma allora devi togliere tutti i fattori che vanno dal secondo fino al possessore del posto rubato la cui probabilità di non sedersi nel posto dell'ultimo è 1 per ipotesi.

Claudio. ha scritto:

Euler ha scritto: Prova a vederla così: se quello con il posto rubato arriva secondo la probabilità cercata è $\frac{1}{199}$ per la probabilità che quelli dopo il secondo (e il secondo) non prendano il posto dell'ultimo, che è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$. Se invece arriva terzo la probabilità (da moltiplicare per $\frac{1}{199}$) è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{200}$, e così via, quindi la probabilità finale è $\frac{1}{199}\sum_{i=1}^{199}\frac{i}{200}$, che è $\frac{1}{2}$. Alla fine bastava sfruttare il fatto che quelli tra il primo e il possessore del posto rubato non hanno scelta.
Spero di essermi spiegato.
Edit: scusate avevo invertito il ragionamento, niente complementari...

Tu dici che la probabilità che, quando è secondo, l'ultimo prenda il suo posto è $\frac{199}{200}\cdot \frac{198}{199}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{200}$ come se restassero ancora 200 posti liberi, in realtà ne restano 199(tra cui ovviamente quello dell'ultimo) quindi la probabilità è $\frac{198}{199}\cdot \frac{197}{198}\cdot ... \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{199}$, questo puoi notarle anche perchè 1/2 che è l'ultima probabilità che hai scritto tu, è la probabilità che il penultimo non prenda il posto dell'ultimo, quindi nella produttoria ci deve essere una frazione per ogni uomo dal secondo fino al penultimo essi compresi, questi sono 200-2(il primo e l'ultimo)=198, mentre nella tua produttoria ci sono 199 fattori. Stessa cosa anche quando occupa le altre posizioni, poi resta il fatto che ho scritto prima, sulla probabilità della posizione.

L'unica spiegazione a quel 199/200 che metti come primo fattore dovrebbe essere che è la probabilità che il primo non sieda nel suo stesso posto, ma allora devi togliere tutti i fattori che vanno dal secondo fino al possessore del posto rubato la cui probabilità di non sedersi nel posto dell'ultimo è 1 per ipotesi.

Sì scusa ho kannato...beh succede, soprattutto quando si vogilono far quadrare i conti

Quindi la soluzione è $\displaystyle \frac1{200}\sum_{n=1}^{199}{\frac1n} $? Cioè circa il 3%...sembra credibile