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Pongo $2^{k-1}=n$ e da ciò ottengo che $$\upsilon_2(\binom{2n}{n})=\upsilon_2(\frac{2n(2n-1)\cdot\cdot\cdot (s+1)}{n(n-1)\cdot\cdot\cdot 1}) = \upsilon_2(\frac{2^{\frac{n}{2}}(2n-1)(2n-3)\cdot\cdot\cdot (s+1)}{\frac{n}{2}(\frac{n-2}{2})\cdot\cdot\cdot 1})=\upsilon_2(2^{n/2}(2n-1)(2n-3)\cdot\cdot\cdot (s+1))-\upsilon_2(\frac{n}{2}!)=\frac{n}{2}-\upsilon_2(2^{k-2}!)$$ Ora cercherò di dimostrare che $ \upsilon_2((2^h) !)= 2^h -1 $
Dunque notiamo che $$ \upsilon_2(2^h !)= \sum_{n=1}^{2^h} \upsilon_2(n)=\sum_{m=1}^{2^{h-1}} \upsilon_2(2m)$$ quest'ultima uguaglianza viene dal fatto che p=2 e quindi abbiano somme maggiori di zero soltanto con i numeri pari .Ora andiamo per induzione. Per h=1 funziona,quindi andiamo per h+1.Abbiamo $$ \sum_{m=1}^{2^h} \upsilon_2(2m)=\sum_{m=1}^{2^{h-1}} \upsilon_2(2m)+\sum_{m=2^{h-1}+1}^{2^h}\upsilon_2(2m)=2^h-1+2^h=2^{h+1}-1$$ Tramite ciò ricaviamo che quel binomiale è $ 2^{k-2}-2^{k-2}+1=1$