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paga92aren ha scritto:Provo a dare una soluzione in sintetica:

Infatti l'angolo BDM$=\pi-\frac{\pi}{4}-x$ e DBC$=\frac{\pi}{4}-x$ quindi gli angoli interni al triangolo BMD sono uno triplo dell'altro, da cui la similitudine.

Penso che mi sto perdendo qualcosa (ma è il 1°, sono scusato ), ma quindi tu sostieni che "angoli uno il triplo dell'altro in CMD e in CBD" implica "CMD e CBD simili"? Perchè di triangoli con angoli k,3k,$ \pi - 4k $ ce ne sono infiniti...

Spero di non aver preso una cantonata pazzesca ma mi sembra di avere una soluzione in sintetica

PASSO 1
Se le proprietà descritte valgono per un triangolo ABC di angoli $ \alpha = 3\gamma ; \beta = 180° - 4\gamma ; \gamma $ allora vale anche per un triangolo A'B'C' di angoli $ \alpha ' = 135° - 3\gamma ; \beta ' = 4\gamma ; \gamma ' = 45° - \gamma $.
Questo lo si può notare facilmente dai triangoli ABC e ECB con E simmetrico di B rispetto al punto D.

PASSO 2
$ (\alpha , \beta, \gamma) $ può avere al più 1 valore in $ \mathbb{R}^3 $.
Ora faccio riferimento alla figura nel word in allegato (non lo riesco ad allegare misteriosamente... comunque immaginatevi la tipica figura degli angoli adiacenti... ecco, questi si incontrano in D). A ora è un punto sulla semiretta che va da D verso sinistra, una volta determinato A si determina univocamente C (simmetrico rispetto a D). Ora traccio una semiretta che parte in A ed incontra l'ipotetica semiretta BD proprio in B. Ora la semiretta uscente da C che interseca la retta BD e tale che gli angoli BCD e BAD sono il primo il triplo del secondo è unica e interseca BD in un altro punto F. Suppongo che B ed F coincidano (questo potrebbe valere per un particolare valore dell'angolo BAD). Ora all'aumentare dell'angolo BAD avrò che F sarà necessariamente più in alto di B e al suo diminuire avrò il caso opposto (più in basso). Quindi si conferma quanto detto, cioè che a meno di similitudini, il triangolo è uno solo.

PASSO 3
Se questo triangolo esiste quindi ABC e A'B'C' sono simili pertanto sono uguali i loro angoli. Ottengo quindi $ \gamma = 22,5 ° $.

PASSO 4
Questo triangolo esiste realmente (il fatto che sia rettangolo facilita il tutto).