OliForum Matematico

Nabir Albar ha scritto:

bĕlcōlŏn ha scritto:$abc=1 \Rightarrow \displaystyle\sum_{cyc} \dfrac{1}{ab+b+1}=1$
che, non so a voi, ma a me sembra quasi un miracolo

Con $a=\frac{x}{y},\ b=\frac{y}{z},\ c=\frac{z}{x}$ è già meno miracoloso

Uh, in effetti era la sostituzione più scontata (eppure mi sembra di averla provata, avrò sbagliato i conti ) e quindi diventa più accettabile

Ora qualcuno completi la dimostrazione dell'hintone, poi mettetevi voi d'accordo su chi posterà il problema successivo.

@Simo_the_wolf non ho capito tanto bene la tua dimostrazione dell'hintone, anche perchè a me il vertice viene in $ \frac {a+1}{2} $

amatrix92 ha scritto:@Simo_the_wolf non ho capito tanto bene la tua dimostrazione dell'hintone [...]

Simo_the_wolf ha scritto:

dario2994 ha scritto:Hintone:
$a^3+3b^2+5\ge 3(ab+a+1)$

Uhm... Porto tutto a sinistra e la mia funzione $f(a,b) \geq 0$ è una bella parabola in $b$ che ha minimo in $\frac a2$ e quindi sapendo che $f(1,1)=0$, allora sicuramente $f(1, \frac 12) < 0$ darà la disuguaglianza sbagliata (questo controllo è sempre bene farlo, quando si hanno funzioni di sencondo grado in mezzo.

infatti non è una dimostrazione dell'hintone. anche perché l'hintone di dario2994 è sbagliato. Simo_the_wolf ha solo approfittato dell'occasione per (umiliare dario2994 -senza offesa :p - e) mostrare un trucchetto che fa sempre comodo avere nel proprio bagaglio.

Mi pareva implicito, data la somiglianza con l'hintone reale, che il mio fosse un typo... non mi pare il caso di farci un pippone

sì, sì stavo solo scherzando, suvvia.
anzi, è stato un typo decisamente utile: non so a quanti verrebbe in mente l'idea di Simo_the_wolf, ad esempio durante una gara...
e credo che l'intenzione di Simo fosse proprio quella di farvi notare come si possono evitare errori stupidi (typo o meno) o escludere falsi guess senza perderci troppo tempo. non certo di far notare a qualcuno cosa aveva sbagliato.

Partendo da quello che ha scitto Simo_the_wolf ho sviluppato questa dimostrazione (anche se non c'entra moltissimo con quello che ha scritto ma la base è quella).

$ \displaystyle a^3+2b^2-(3a+3) b + a^3 + 2 \geq 0 \implies $ EDITATO IN: $ \displaystyle 3b^2-(3a+3)b+a^3+2 \geq 0 \implies $

$ \displaystyle b \geq \frac{3a+3+ \sqrt{9a^2+9+18a-12a^3-24} }{6} \wedge b \leq \frac{3a+3- \sqrt{9a^2+9+18a-12a^3-24} }{6} $
$ $
$ \Delta \geq 0 \implies -12a^3+9a^2+18a-15 \geq 0 \iff 3(4a+5)(a-1)^2 \leq 0 $

Se ora risolvo separatamente

1)$ \displaystyle 3(4a+5)(a-1)^2 <0 \implies a< - \frac{5}{4} $ che ovviamente va contro le ipotesi

2) $ \displaystyle 3(4a+5)(a-1)^2 = 0 \implies a=1 \wedge a= - \frac {5}{4} $ di cui è accettabile solo la prima quindi

$ \displaystyle a=1 \implies b \geq \frac{ 3\cdot 1 + 3 +0 }{6} \wedge b \leq \frac {3\cdot 1 +3 -0}{6} \iff b \geq 1 \wedge b \leq 1 \iff b \in \mathbb R^+ $ cioè la tesi.

è corretto?

Scusa per il ritardo nella risposta, comunque... nel primo passaggio non capisco da dove tiri fuori quell'espressione, dovrebbe venire

$3b^2-(3a+3)b+a^3+2 \geq 0$
Poi va bene anche continuando in quella maniera, anche se io preferirei subito studiare il Delta, che viene $-3(4a+5)(a-1)^2$. E siccome $(4a+5) > 0$ perché $a$ è reale positivo, e $(a-1)^2 \geq 0$ per ogni $a$, si ha che $\Delta \leq 0$ ed essendo il coefficiente di $b^2$ positivo quindi quella disuguaglianza vale sempre.

Per concludere, chiaramente uno non arriva direttamente alla formula bella e pronta e poi la dimostra con il Delta...
Il tentativo è quello di far diminuire i denominatori. Provando con due AM-GM viene $a^3+3b^2+5 = a^3+b^2+3+2b^2+2 \geq a^3+b^2+3+4b = a^3+b^2+b+3b+3 \geq 3ab+3b+3 = 3(ab+b+1)$.
Dove ho usato $2b^2+2 \geq 4b$ e $a^3+b^2+b \geq 3ab$ che sono due semplici AM-GM.

Ora se avete altre soluzioni postate pure. Per me, comunque, potete andare avanti col prossimo problema. Decidete voi chi lo posterà.

bĕlcōlŏn ha scritto:Scusa per il ritardo nella risposta, comunque... nel primo passaggio non capisco da dove tiri fuori quell'espressione, dovrebbe venire

$3b^2-(3a+3)b+a^3+2 \geq 0$

devo essere sincero con te non ho la più pallida idea del perchè abbia scritto quel'espressione, che se noti dal passaggio successivo procedo come se l'espressione fosse quella che hai scritto tu. e anche sul foglio dove l'ho risolta l'ho scritta nella versione "giusta" xD probabilemnte ero distratto mentre la scrivevo. In ogni caso ora la edito e quindi penso che vada bene sia la prima che la seconda parte. Appena mi viene in mente qualcosa di carino posto il problema 36.