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E direi un 42/42 a jordan

nelle soluzioni in cui non funziona il LaTeX, tipo la mia, non si vedono le frazioni. O forse è solo un problema mio?

staffo ha scritto:nelle soluzioni in cui non funziona il LaTeX, tipo la mia, non si vedono le frazioni. O forse è solo un problema mio?

In effetti la mia frazione non c'è...

Comunque queste sono le mie soluzione TeXate...

Es.1
Innanzitutto, noto che valgono tutti i $b=a$, perchè, per le proprietà delle potenze, $a^2a^2+aa^2+1=a^4+a^3+1$ .
Inoltre valgono anche tutti gli $a=0$ .
ora noto che $a^4+a^3+1$ non ha radici intere, il che sifnifica che riscrivendolo come $(a-k) q(a)$, il primo fattore non è intero. Perciò non esiste nessun polinomio che moltiplicato per un intero dia $a^4+a^3+1$ .
quindi $a^2b^2+ab^2+1$ non può essere suo divisore.


Es.3
La prima cosa da fare è scomporre in fattori primi 2336; perciò $2336=73 \cdot 2^5$

Innanzitutto noto che $x=y=z$ è impossibile: infatti verrebbe $2^x = {2336 \over 3}$ , ma ${2336 \over 3} \not \in \mathbb{N}$

Allora provo a raccogliere $2^x$ : $2^x(1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}) = 2336$

Quindi $73 \cdot 2^{5-x} = 1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}$

Ma ciò è impossibile, perchè un dispari * pari (la potenza di 2) = pari ; e pari - 1 = dispari (perchè porto a sinistra l'1)

Allora l'unica alternativa è che $x=5$ , perciò $2^{y-5} + 2^{z-5} = 72$

Ora scompongo, $72 = 3^2 \cdot 2^3$

Stesso ragionamento di prima, quindi $y-x = 3$ e $2^{z-y} = 8$

Da qui ottengo che $x = 5 , y = 8 , z = 11$

Verifico che $2^5 + 2^8 + 2^{11} = 32 + 256 + 2048 = 2336$

Perciò l'unica soluzione è $(5,8,11)$

allora metto anche le mie:

2) chiamo $2a=k$ (per comodità).
Eseguo la divisione e ottengo $k^b+k^{b-1}+...+k+1$
Analizzo le congruenze $mod 8$.
Fino a $k^3$ tutti i residui (essendo k pari) sono 0.
Ora se $k$ è divisibile per $4$ e non per $8$, allora $k^2\equiv0$ e $k+1\equiv5$, quindi il residuo totale è $5$, che $mod 8$ non è residuo quadratico.
Se $k$ è divisibile per $2$ e non per $8$, con lo stesso ragionamento arrivo a dire che tutto quel polinomio lì è congruo a $7$, che non è un residuo quadratico $mod 8$.
Quindi $8|k$ e questo implica $4|a$.

3)pongo WLOG $x\geq y\geq z$.
Allora posso scrivere $2^z(2^{x-z}+2^{y-z}+1)$. di questi due fattori, il secondo non è divisibile per $2$, allora tutti i fattori due di $2336$ ($2^5\cdot 73$) devono essere contenuti in $2^z$, quindi $z=5$.
Allora ottengo $2^{x-5}+2^{y-5}=72$. raccolgo ancora $2^{y-5}(2^{x-y}+1)=72$. stesso ragionamento di prima mi porta a dire $y-5=3$ cioè $y=8$.
A questo punto ottengo $2^{x-8}=8$, cioè $x=11$.
Le soluzioni sono $(5,8,11)$ e permutazioni.

5)$x$ e $y$ devono avere la stessa parità, quindi differiranno, almeno, di due.
Voglio minimizzare la differenza dei cubi. Siccome $x$ e $y$ differiscono almeno di due, pongo $x=y+2$.
Ottengo (con dovute semplificazioni) $5y^2+16y=0$. Trasportandolo in disuguaglianza, essendo $x$ e $y$ interi positivi, ottengo che il membro di sinistra è sempre maggiore del membro di destra (e questo è vero perchè, minimizzando la differenza di cubi, ho al contempo massimizzato il prodotto $xy$), e quindi $x^3-y^3>xy+8$, e di conseguenza non ci sono soluzioni.

6)Gli esponenti di $a$ e di $b$ sono pari, quindi posso scomporre quella differenza di quadrati come: $(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$ essendo due un numero primo, allora uno dei due dovrà essere uguale ad uno, e l'altro uguale a due. ovviamente la differenza, essendo minore della somma, deve essere uguale ad 1, e l'altra deve essere uguale a 2. Chiamo $a^{2^{b-1}}=A$ e $b^{2^{a-1}}=B$, ottengo dunque:
$A-B=1$ e $A+B=2$, che implica $B=\frac{1}{2}$ e $A=\frac{3}{2}$, ma, essendo $A$ e $B$ delle potenze di interi, esse devono essere intere, quindi non ci sono soluzioni.

Non ho nulla da fare quindi guardiamo un po' di soluzioni..

Drago96 ha scritto:Es.1
Innanzitutto, noto che valgono tutti i $b=a$, perchè, per le proprietà delle potenze, $a^2a^2+aa^2+1=a^4+a^3+1$ .
Inoltre valgono anche tutti gli $a=0$ .
ora noto che $a^4+a^3+1$ non ha radici intere, il che sifnifica che riscrivendolo come $(a-k) q(a)$, il primo fattore non è intero. Perciò non esiste nessun polinomio che moltiplicato per un intero dia $a^4+a^3+1$ .
quindi $a^2b^2+ab^2+1$ non può essere suo divisore.

Cosa c'entra il fatto che $ a^4+a^3+1 $ non ha radici intere (che tra l'altro non hai dimostrato) col fatto che $a^2b^2+ab^2+1\nmid a^4+a^3+1$ ?

Drago96 ha scritto: Es.3
La prima cosa da fare è scomporre in fattori primi 2336; perciò $2336=73 \cdot 2^5$

Innanzitutto noto che $x=y=z$ è impossibile: infatti verrebbe $2^x = {2336 \over 3}$ , ma ${2336 \over 3} \not \in \mathbb{N}$

Allora provo a raccogliere $2^x$ : $2^x(1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}) = 2336$

Quindi $73 \cdot 2^{5-x} = 1 + 2^{y-x} + 2^{z-x}$

Ma ciò è impossibile, perchè un dispari * pari (la potenza di 2) = pari ; e pari - 1 = dispari (perchè porto a sinistra l'1)

Allora l'unica alternativa è che $x=5$ , perciò $2^{y-5} + 2^{z-5} = 72$

Ora scompongo, $72 = 3^2 \cdot 2^3$

Stesso ragionamento di prima, quindi $y-x = 3$ e $2^{z-y} = 8$

Da qui ottengo che $x = 5 , y = 8 , z = 11$

Verifico che $2^5 + 2^8 + 2^{11} = 32 + 256 + 2048 = 2336$

Perciò l'unica soluzione è $(5,8,11)$

Ti sei dimenticato che hai usato l'ipotesi (non esplicita) che $x\le y\le z$ (infatti ti sei saltato tutte le permutazioni..)

staffo ha scritto:2) chiamo $2a=k$ (per comodità).
Eseguo la divisione e ottengo $k^b+k^{b-1}+...+k+1$
Analizzo le congruenze $mod 8$.
Fino a $k^3$ tutti i residui (essendo k pari) sono 0.
Ora se $k$ è divisibile per $4$ e non per $8$, allora $k^2\equiv0$ e $k+1\equiv5$, quindi il residuo totale è $5$, che $mod 8$ non è residuo quadratico.
Se $k$ è divisibile per $2$ e non per $8$, con lo stesso ragionamento arrivo a dire che tutto quel polinomio lì è congruo a $7$, che non è un residuo quadratico $mod 8$.
Quindi $8|k$ e questo implica $4|a$.

Potevi scriverla un po' meglio, ma va bene..

staffo ha scritto: 3)pongo WLOG $x\geq y\geq z$.
Allora posso scrivere $2^z(2^{x-z}+2^{y-z}+1)$. di questi due fattori, il secondo non è divisibile per $2$, allora tutti i fattori due di $2336$ ($2^5\cdot 73$) devono essere contenuti in $2^z$, quindi $z=5$.
Allora ottengo $2^{x-5}+2^{y-5}=72$. raccolgo ancora $2^{y-5}(2^{x-y}+1)=72$. stesso ragionamento di prima mi porta a dire $y-5=3$ cioè $y=8$.
A questo punto ottengo $2^{x-8}=8$, cioè $x=11$.
Le soluzioni sono $(5,8,11)$ e permutazioni.

Questa va bene anche..

staffo ha scritto:5)$x$ e $y$ devono avere la stessa parità, quindi differiranno, almeno, di due.
Voglio minimizzare la differenza dei cubi. Siccome $x$ e $y$ differiscono almeno di due, pongo $x=y+2$.
Ottengo (con dovute semplificazioni) $5y^2+16y=0$. Trasportandolo in disuguaglianza, essendo $x$ e $y$ interi positivi, ottengo che il membro di sinistra è sempre maggiore del membro di destra (e questo è vero perchè, minimizzando la differenza di cubi, ho al contempo massimizzato il prodotto $xy$), e quindi $x^3-y^3>xy+8$, e di conseguenza non ci sono soluzioni.

Ci spieghi perchè "minimizzando la differenza di cubi, al contempo massimizzi il prodotto"?

staffo ha scritto:6)Gli esponenti di $a$ e di $b$ sono pari, quindi posso scomporre quella differenza di quadrati come: $(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$ essendo due un numero primo, allora uno dei due dovrà essere uguale ad uno, e l'altro uguale a due. ovviamente la differenza, essendo minore della somma, deve essere uguale ad 1, e l'altra deve essere uguale a 2. Chiamo $a^{2^{b-1}}=A$ e $b^{2^{a-1}}=B$, ottengo dunque:
$A-B=1$ e $A+B=2$, che implica $B=\frac{1}{2}$ e $A=\frac{3}{2}$, ma, essendo $A$ e $B$ delle potenze di interi, esse devono essere intere, quindi non ci sono soluzioni.

Hai risolto solo un caso, il testo chiedeva $a,b \in \mathbb{Z}$..

kalu ha scritto:3)Trovare tutte le terne di interi positivi $ x, y, z $ tali che $ 2^x + 2^y + 2^z=2336 $

giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:

$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e tutte le simmetriche

No, ero convinto interi positivi, ma l'hai corretto dopo o era dall'inizio interi tutti?

Massimizzo il prodotto perchè, va beh, fissata la somma di x e y quando si minimizza il modulo della differenza di x e y si massimizza il prodotto, va beh, quella mi pare abbastanza brutta anche a me...

amatrix92 ha scritto: PROBLEMA 2
Il testo indica la somma di una progressione geometrica e può equivalentemente essere scritto così: (2a)b+(2a)b−1+...+(2a)+1=k2⟺(2a)b+...+2a=(k+1)(k−1) . Posso raccogliere un 2 nel LHS da cui ricavo che (k+1)(k−1) è pari, ma ciò avviene se e solo se k e dispari e in questo caso (k+1)(k−1) è chiaramente multiplo di 8 in quanto prodotto di 2 numeri pari consecutivi dicui uno sicuramente multiplo di 4. Abbiamo quindi semplificando un 2 che (2a)b2+(2a)b−12+...+2a2+a=(k+1)(k−1)2 , cioè la progressione di termini tutti pari e un termine a uguale ad un termine pari, quindi a pari. Ma con a pari abbiamo una progressione di tutti termini multipli di 4 tranne a che è solo pari uguale ad un multiplo di 4, quindi a multiplo di 4.

Dovresti usare il Latex, almeno per le soluzioni sul forum (non compare nè l'^ per esponente, nè il / per le frazioni..). Ad ogni modo anche se non hai nominato i residui quadratici, l'idea è equivalente..

amatrix92 ha scritto:PROBLEMA 3
L'unica soluzione è x=11 y=8 z=5 e cicliche
L'eq. è simmetrica quindi pongo Wlog x≥y≥z
Ovviamente x,y,z≤11 perchè 212=4096
Se x= 10 ottengo 2z+2y=2336−1024=1312 da cio essendo y≥z ottengo y=10 e rimane 2z=1312−1024=288 che è impossibile in N.
Se x≤9 allora 22+2y+2z vale al massimo 29⋅3=1536.
Se x=11 allora 2z+2y=2336−2048=288;
A questo punto in questa equazione abbiamo che se y≤7 allora 2z+2y vale al massimo 27⋅2=256.
Se invece y≥9 è impossibile visto che 29=512, quindi y=8 da cui si ricava z=5.

(L'ho letta velocemente) Va bene, ma le soluzioni sono (11,8,5) e simmetriche (le cicliche sono solo 3 in totale)..

amatrix92 ha scritto:PROBLEMA 5
Non ci sono soluzioni
Ovviamente x>y.
x2−y3=2(xy+4)⟹y=x−2k
Se k=0⟹0=8 assurdo
Se k=1⟹x3−(x−2)3=2(x−2)x+8⟺x2−2x=0⟺x=0∨x=2 ma essendo x,y>0 queste soluzioni vanno escluse.
Se k=2⟹x3−(x−4)3=2x(x−4)+8⟺5x2−20x+28=0 da cui Δ=202−28⋅20<0
e che quindi non ha soluzioni ed è sempre maggiore di 0.
Nella forma generale y=x−2k viene: x3−(x−2k)3=2(x−2k)x+8⟺
⟺8k3−4kx+6kx2=8−2x2−12k2x⟺4k3+2kx+3kx2−4−x2−6k2x=0
Ora voglio dimostrare che per ogni k>2 , 4k3+2kx+3kx2−4−x2−6k2x>0.
Con k=2 abbiamo visto che non ci sono soluzioni e che è sempre maggiore di 0, quindi se dimostrassi che f(x)=4k3+2kx+3kx2−4−x2−6k2x>0 per ogni k>2 avrei finito.
Wolfram mi dice che è vero ma non saprei bene come dimostrarlo.

Risolvere solo i casi $k=0,1,2$ non è esattamente una soluzione, ma credo questo lo sai già..

amatrix92 ha scritto:PROBLEMA 6
Non ci sono soluzioni
a2b−b2a=2⟺(a2b−1+b2a−1)(a2b−1−b2b−1)=2 da cui essendo 2 un numero primo, ed essendo i 2 fattori uno chiaramente maggiore dell'altro si ricava
(a2b−1+b2a−1)=2
(a2b−1−b2b−1)=1
Analizzando il primo, essendo 2 esponenziali sono strettamente maggiori di 0, quindi devono essere entrambi uguali a 1. a2b−1=1 e b2a−1 ma, un esponenziale è uguale a 1 solo quando l'esponente è uguale a 0, ma essendo l'esponente a sua volte una funzione esponenziale non può mai essere uguale a 0 da cui l'assurdo.

Stesso errore di staffo..

Valenash ha scritto:giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e cicliche

Non cicliche.. Comunque è quello che ho scritto alla mia soluzione, ma ci devi aggiungere che se $\prod_{cyc}{x-y}=0$ allora quell'equazione non ha soluzione in $\mathbb{N}$..

staffo ha scritto:Massimizzo il prodotto perchè, va beh, fissata la somma di x e y quando si minimizza il modulo della differenza di x e y si massimizza il prodotto, va beh, quella mi pare abbastanza brutta anche a me...

Allora, sia $ x+y:=k>0 $ la somma fissata. Il prodotto si massimizza con $x=y=\frac{k}{2}$ per am-gm; $x^3-y^3$ si minimizza con $x=0,y=k$, se aggiungi il vincolo $x\ge y$ allora lo minimizzi a $0$ con $x=y=\frac{k}{2}$. Ci spieghi meglio?

jordan ha scritto:

Valenash ha scritto:giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e cicliche

Non cicliche.. Comunque è quello che ho scritto alla mia soluzione, ma ci devi aggiungere che se $\prod_{cyc}{x-y}=0$ allora quell'equazione non ha soluzione in $\mathbb{N}$..

per il cicliche infatti ho editato..
ma non ho capito l'altro passaggio, la condizione che hai posto.. puoi spiegare cosa intendi??

LucasEta ha scritto: PROBLEMA 3
$2^x+2^y+2^z=2336=2^5\cdot 73$
Divido tutto per $2^5$ ed ottengo:
$2^a+2^b+2^c=73$ , con $a=x-5, b=y-5, c=z-5$
Se i 3 addendi sono tutti pari, cioè se $a,b,c\geq 1$, non ottengo soluzioni in quanto RHS è dispari.
Mi rimane il caso in cui qualcuno tra $a,b,c$ è uguale a 0, ottenendo così uno o più addendi dispari (e più precisamente uguali a 1) che mi sistemino la parità. D'altra parte devo avere un numero dispari di addendi dispari, cioè o 1 o 3 addendi dispari. Ma il caso con 3 addendi dispari è da scartare, in quanto otterrei $1+1+1=73$ che mi dà un'identità falsa. RImane il caso in cui uno tra $2^a,2^b,2^c =1$.
Suppongo WLOG che $2^c=1$ e quindi $c=0$: allora ottengo $2^a+2^b=72$. Le uniche soluzioni $(a,b)$ che ne derivano sono $(6,3)(3,6)$, in quanto almeno uno tra $a$ e $b$ deve essere maggiore di 5 (altrimenti potrei ottenere al massimo $32+32<72$) , ma chiaramente sia $a$ che $b$ sono minori di 7, quindi uno tra i 2 deve essere 6 da cui deriva che l'altro è 3.
Riciclo il ragionamento supponendo che $2^a=1$ e poi che $2^b=1$ : allora le terne di soluzioni $(a,b,c)$ che complessivamente ottengo sono:
$(0,6,3);(0,3,6);(3,0,6);(6,0,3);(3,6,0);(6,3,0);$ le cui corrispettive terne $(x,y,z)$ sono: $(5,11,8);(5,8,11);(8,5,11);(11,5,8);(8,11,5);(11,8,5)$

Bene

LucasEta ha scritto:PROBLEMA 5
5)Trovare tutte le coppie di interi positivi $ x, y $ tali che $ x^3-y^3=2xy+8 $.
A) Suppongo $x\geq y$, quindi $x=d+y$.
Sostituisco:
$(d+y)^3-y^4=2(d+y)y+8$ . Da cui
$(3d-2)y^2+yd(3d-2)+d^3=8$
Da questa ottengo che $d\leq 2$, cioè $d=0,1,2$.
Sostituendo i 3 possibili valori per la $d$, non ottengo alcun valore intero positivo per la $y$ .
B) Suppongo che $y\geq x$ cioè $y=x+d$
Sostituisco e ottengo:
$(3d+2)x^2+(3d+2)x+d^3=-8$
Siccome $d$ è positivo, non ci sono valori interi positivi ammissibili per la $x$.
Non ci sono soluzioni all'equazione... (almeno spero xD)

Bene anche questa

LucasEta ha scritto:PROBLEMA 6
Trovare tutte le coppie di interi a e b tali che $a^{2^b}-b^{2^a}=2$
Si dimostrerà che le uniche coppie di soluzioni $(a,b)$ sono : $(2,0);(0,-2);(9,-1)$.
A)Supponiamo che $a,b$ entrambe $\geq 1$: allora gli esponenti $2^b$ e $2^a$ sono entrambi pari,e sfruttando il prodotto notevole posso riscrivere l'equazione come $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=2$. Siccome le basi stesse sono maggiori o uguali a 1, $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})>(a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})$ per ogni $a,b\geq 1$, e siccome il prodotto dei due fattori deve darmi 2, l'unica combinazione possibile è $(a^{2^{b-1}}+b^{2^{b-1}})=2, (a^{2^{b-1}}-b^{2^{a-1}})=1$.
Svolgendo il sistema ottengo $b^{2^{a-1}}=2^{-1}$ che non è verificata per nessuna $b$ intera, pertanto il sistema non ha soluzioni intere: non ci sono quindi soluzioni per nessuna $a,b$ entrambe $ \geq 1$.
B)Supponiamo ora che $a,b$ entrambi$ \leq -1$, e chiamiamo $a=-m$, $b=-n$ con $m,n$ interi positivi.
Allora non può esistere il termine $a^{2^b}$ : infatti $a^{2^b}=-m^{2^{-k}}=-m^{\frac {1}{2^k}}=\sqrt[2^k]{-m}$ che non esiste nei reali.
C) Supponiamo adesso che $a$ sia positivo e $b$ sia negativo (quindi entrambi diversi da 0), e chiamiamo $b=-n$ con $n$ intero positivo.
Allora : $a^{2^b}-b^{2^a}=a^{\frac {1}{2^n}}-(-n^{2^a})=a^{\frac {1}{2^n}}-n^{2^a}=2$.
Notando che $a^{\frac {1}{2^n}}>n^{2^a}$ solo per $n=1$ e $a>1$, ottengo la coppia di soluzioni $(a,n)$-> $(9,1)$ , da cui deriva la coppia $(a,b)$->$(9,-1)$
D) Supponiamo adesso che $a$ sia negativo e $b$ sia negativo (quindi entrambi diversi da 0), e chiamiamo $a=-m$ con $m$ intero positivo.
Allora: $a^{2^b}-b^{2^a}=-m^{2^b}-b^{\frac {1}{2^m}}=m^{2^b}-b^{\frac {1}{2^m}}=2$. Con un ragionamento analogo al precedente, mi accorgo che non esistono soluzioni intere in questo caso.
E) Rimane infine il caso in cui almeno uno tra $a$ e $b$ è uguale a 0. Per prova diretta , sostituendo 0 ad $a$ e a $b$ ottengo le soluzioni $(2,0);(0,-2)$

Mi spieghi meglio solo questo "Notando che $a^{\frac {1}{2^n}}>n^{2^a}$ solo per $n=1$ e $a>1$, ottengo la coppia di soluzioni $(a,n)$-> $(9,1)$ , da cui deriva la coppia $(a,b)$->$(9,-1)$"?

Valenash ha scritto:

jordan ha scritto:

Valenash ha scritto:giusto per trovare una soluzione elegante, al posto dei conti, si poteva scomporre 2336 in base due ottenendo:$2336_{10} = 100100100000_2$, da cui arrivava subito la soluzione $x=5$, $y=8$, $z=11$ e cicliche

Non cicliche.. Comunque è quello che ho scritto alla mia soluzione, ma ci devi aggiungere che se $\prod_{cyc}{x-y}=0$ allora quell'equazione non ha soluzione in $\mathbb{N}$..

per il cicliche infatti ho editato..
ma non ho capito l'altro passaggio, la condizione che hai posto.. puoi spiegare cosa intendi??

$\prod_{cyc}{(x-y)}=0$ sse almeno due variabili sono uguali..

jordan ha scritto: $\prod_{cyc}{(x-y)}=0$ sse almeno due variabili sono uguali..

Questo l'avevo capito, ma non ho capito perchè è necessario porre tale condizione.. cioè, ho 3 uni nella rappresentazione in base due del numero, logicamente essendo ognuno degli addendi uno di quegli uni, essi son tutti diversi..

Le soluzione le avevo scritte in Latex ma poi con il copiare il messaggio il Latex è evidentemente morto.
LukasEta mi spieghi come da $ (3d-2)y^2 + yd(3d-2)+d^3 = 8 $ arrivi a dire $ d\leq 2 $ ? Cioè mi sembra quasi identica alla mia come soluzione, solo che io ho fatto notare che non sapevo come dimostrare rigorosamente che mi andavano bene solo i $ k\leq 2 $, tu invece non te ne sei prorpio preoccupato e lo hai dato per scontato