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Ok, non lo sapevo, grazie mille, e la tua dimostrazione detto questo è davvero caruccia, bravo

paga92aren ha scritto:Detto questo $(a+ib)(a-ib)=p=(c+id)(c-id)$ essendo $a+ib$ primo allora divide o $c+id$ o $c-id$, anche $c\pm id$ è primo quindi se viene diviso da $a+ib$ allora è anche uguale ad esso $a+ib=c\pm id$ da cui $a=c$ e $b=\pm d$ quindi la somma di quadrati è la stessa.

No.
Quello che puoi dire è che differiscono per un invertibile, cioè che il loro rapporto è uno tra 1,i,-1,i. E infatti non è per forza detto che $a=c$ e $b=\pm d$, ma ci sono anche $a=-c$ e $b=\pm d$, $a=d$ e $b=\pm c$ e $a=-d$ e $b=\pm c$, che naturalmente corrispondono sempre alla stessa scrittura come somma di due quadrati, ma già che stiamo parlando di cose poco elementari, è bene farlo correttamente; anche perché potrebbe venirti voglia di fare lo stesso errore in casi in cui invece gli invertibili contano, come con $p=x^2-2y^2$ (pell-like che può avere infinite soluzioni, cosa cambia nel tuo ragionamento?) o $p=a^2-ab+b^2$.
Tra l'altro, se sapete tutto ciò (non sono molto al corrente del programma degli stage di punta) potete procedere con risultati analoghi per le scritture di p nella forma $x^2+dy^2$.