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Mist ha scritto:beh, dirichlet mostra che per ogni scelta di q che puoi fare, esiste un $p$ almeno che ti soddisfa, quindi di fatto sono infinite, $q$ lo puoi scegliere come vuoi... Hai infinite scelte per $q$ (tutto $\mathbb{N}$) e hai la certezza che esiste un $p$ valido per ogni scelta di $q$

Eh no scusa. Dirichlet dimostra che per ogni scelta di $n$ esiste una coppia $(p, q)$ che mi soddisfa, ed è diverso.
Infatti pure al variare di $n$ (in tutto $\mathbb{N}$) la coppia $(p, q)$ può essere sempre la stessa, o possono essere comunque in numero finito...

vediamo... Chiamiamo $(p_n,q_n)$ la coppia che dirichlet ci dice che esiste per ogni $n$. Quindi $\displaystyle |q_n\alpha -p_n| < \frac{1}{n+1}<\frac{1}{q_n}$. Sappiamo anche che $q_n \alpha -p_n \neq 0$. Bene. Detto ciò, prendiamo una $(p_j,q_j)$ con $j>n$. Ora, siccome abbiamo detto che conseguentemente al fatto che $\alpha$ è irrazionale $q_n \alpha -p_n \neq 0$, si deve avere che $\displaystyle |q_j\alpha -p_j|<\frac{1}{j+1}<|q_n\alpha -p_n| < \frac{1}{n+1}<\frac{1}{q_n}$. Ma allora $(p_j,q_j)$ è distinta da $(p_n,q_n)$. Ripetendo lo stesso ragionamento su $(p_j,q_j)$ si può giungere a dire che esiste un altra coppia ancora distinta dalle altre precedenti. Procedendo ad infinitum si osserva che effettivamente esistono infinite coppie che soddisfano la tesi.

Mist ha scritto:$\frac{1}{j+1}<|q_n\alpha -p_n|$

Hai ragione, che scemo. Non avevo pensato al fatto che posso scegliere $j$ abbastanza grande da far valere questa disequazione