OliForum Matematico

No, il risultato di quella somma infinita intendevo... quella dei divisori è l'hint praticamente.

Se è solo per questo si induce facilmente su $2-\frac 1 n$. Per quanto riguarda la somma infinita in effetti non è così facile, ma se serve (soprattutto a Drago96) si può guardare qui.

Intendi dire questo?
$\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$

Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda!

P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$

Drago96 ha scritto:Intendi dire questo?
$\displaystyle{n\cdot\sum_{i=1}^{\infty} \frac 1 {i^2}=n\cdot\frac{\pi^2} 6}$

Spero di sbagliarmi, perchè mi sa che è un po' troppo chiedere una dimostrazione fatta da Eulero ad un ragazzo di seconda!

P.S: enigma, non capisco cosa vuoi dimostrare con $2-\frac 1 n$

Appunto, era quasi un consiglio. Sarebbe stato meglio se lo avessi dimostrato per induzione con 2-1/n magari... o qualcosa del genere... dato che quella formula non la sai dimostrare. Tutto qui.

Mmm... Come faccio ad usare l'induzione su numeri non interi?

Se qualcuno ci arriva prima di me, gli lascio il testimone, dato che in un certo senso ho un po' "barato"

Non serve nemmeno l'induzione...

Le mie figuracce non me le dimentico mai

Boh, scrivo quello che ho fatto.
Passo base:
$ 1 \leq 1 $

Ipotesi induttiva:
$ 1)\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2} \leq 2-\displaystyle\frac{1}{n} $

Dimostriamo che la tesi è vera per $ n+1 $.
$ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^2}+\displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\displaystyle\frac{1}{n+1} $
Adesso sottraggo la 1) che sò vera ed otteniamo:
$ \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n}-\displaystyle\frac{1}{n+1} $
Da cui otteniamo:
$ \displaystyle\frac{1}{(n+1)^2} \leq \displaystyle\frac{1}{n(n+1)} $
che è sempre vera siccome $ n\in\mathbb N $

Lemma: $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2}\leq2-\frac 1 n}$
Dimostrazione:
Per $n=1$ è vero;
Suppongo vero per $n$ e riscrivo con $n+1$ : $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac{1}{i^2} + \frac{1}{(n+1)^2}\leq 2-\frac 1 {n+1}}$ (1)
A (1) sottraggo l'ipotesi induttiva, ottenendo $\displaystyle{\frac{1}{(n+1)^2}\leq\frac 1 n -\frac 1 {n+1}}$ . Moltiplicando per $n+1$ ottengo $\displaystyle{\frac{1}{n+1}\leq\frac 1 n}$ che è sempre vera, essendo in $\mathbb N$

Ora, mi basta dire che sicuramente $2-\frac 1 n<2$ e dunque moltiplicando tutto per $n$ ottengo quello che l'esercizio chiedeva, ovvero $\displaystyle{\sum_{i=1}^n \frac n {i^2}\leq 2n}$

EDIT: Acc... anticipato di un attimo...

Comuque, posti lo stesso tu il problema della staffetta perchè hai risolto quello attuale.

Ecco il nuovo problema: viewtopic.php?f=15&t=16368