Ho iniziato, ma mi sono piantato...
Ora forse è meglio se smetto un po' e vado a farmi i compiti, magari ci penso domani nelle due ore buche, o all' "allenamento" pomeridiano...
Lemma sulla distanza di cubi: La differenza di due cubi non può mai essere 2.
Dimostrazione:
Supponiamo per assurdo $a^3-b^3=2$ con $a,b\in\mathbb{N_0}$ e $a>b$. Si osserva che hanno la stessa parità.
Scomponendo si ha $(a-b)(a^2+ab+b^2)=2$ ; ma 2 è primo, dunque uno dei due fattori è 2 e l'altro 1. Ma il fattore 2 arriva dalla differenza $a-b$ dunque su deve avere $a^2+ab+b^2=1$ , assurdo perchè ogni elemento è maggiore o uguale ad uno.
i) $x^2-y^3=1$
Dunque $y^3=(x+1)(x-1)$ . Ora, se x è pari, allora $MCD(x-1,x+1)=1$ , da cui entrambi i fattori devono essere dei cubi.
Ma per il lemma della distanza non ci possono essere due cubi con differenza 2.
Perciò x è dispari, da cui y pari. Sostiuiamo $y=2y_2$ e $x-1=2k$ . L'equazione diventa $2y_2^3=k(k+1)$
Essendo i due fattori coprimi, uno dei due è un cubo, e l'altro è il doppio di un cubo.
Dunque tutto sta nel risolvere $2a^3-b^3=1$ . Se $a=b$ allora arriviamo alla coppia (unica soluzione) $(x,y)=(3,2)$
E qua non riesco a continuare...
ii) $x^2-y^3=-1$
Da cui $x^2=(y-1)(y^2+y+1)$ .
Qua a dire il vero non ci ho provato seriamente... xD
