OliForum Matematico

Nonno Bassotto ha scritto:Per chi conosce le derivate può essere anche carino osservare che

$ (1 + x)^n = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i}x^i $

e dunque, derivando,

$ n \cdot (1 + x)^{n - 1} = \sum_{i = 1}^{n} \binom{n}{i} \cdot i x^{i -1}. $

Per $ x = 1 $ si ottiene proprio $ n \cdot 2^{n - 1} = \sum_{i = 0}^{n} \binom{n}{i} \cdot i. $

grande! puoi spiegare perchè funziona?

Cosa non ti è chiaro esattamente? La prima formula è un'identità, o se vuoi un'uguaglianza tra due modi diversi di scrivere la stessa funzione di $x$. Nella seconda riga, calcola la derivata del LHS e del RHS con le formule usuali e dice che sono uguali (se due funzioni sono uguali, hanno la stessa derivata, giusto?); anche questa è un'uguaglianza valida per tutti i valori di $x$. Nella terza sostituisce $x=1$.

fph ha scritto:Cosa non ti è chiaro esattamente? La prima formula è un'identità, o se vuoi un'uguaglianza tra due modi diversi di scrivere la stessa funzione di $x$. Nella seconda riga, calcola la derivata del LHS e del RHS con le formule usuali e dice che sono uguali (se due funzioni sono uguali, hanno la stessa derivata, giusto?); anche questa è un'uguaglianza valida per tutti i valori di $x$. Nella terza sostituisce $x=1$.

in effetti rileggendo è chiaro mi era sembrato strano perchè non avevo colto il fatto che la derivazione fa solo trovare un altra uguaglianza, essendo vera la prima, grazie!

già che ci siamo, puoi linkare o spiegare in due parole le regole di derivazione per la sommatoria? perchè ho visto che dopo la derivazione $j$ parte da 1, o è solo un errore di scrittura?

No, è giusto così. Il termine $i=0$ è una costante, e quindi ha derivata nulla.

La derivata di una sommatoria è semplicemente la somma delle derivate:
\[
\frac{d}{dx} \sum_{i=0}^n f_i(x) = \sum_{i=0}^n \frac{d}{dx} f_i(x).
\]
Questo deriva direttamente dalla regola per la derivata della somma ($\frac{d}{dx} (f(x)+g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$, applicata un po' di volte (se vuoi formalizzare, induzione).

chiarissimo.. grazie