OliForum Matematico

Abbiamo già visto che le due distribuzioni sono $ F_x(x)=x^2, F_y(y)=y $, sostituendo a $ r $ la variabile relativa a come identifichiamo la variabile aleatoria. A questo punto derivando ci ricaviamo le densità marginali: $ f_x(x)=2x, f_y(y)=1 $ e conseguentemente sfruttando un'ipotesi di indipendenza implicita nel testo quella congiunta come prodotto delle stesse: $ f_{xy}(x,y) = f_x(x) f_y(y) = 2x $. A questo punto:

$ \mathbb{P}(X-Y<0) = \iint_{A = \{ (x,y) | x-y < 0 \}} 2x dx dy = \iint_{A = \{ (x,y) | x < y \}} 2x dx dy = \int_0^1 ( \int_0^y 2x dx) dy $

$ = \int_0^1 [x^2]_{x=0}^{x=y} dy = \int_0^1 y^2 dy = [\frac{1}{3} y^3]_0^1 = \frac{1}{3} $