OliForum Matematico

Non ti vengono in mente altri metodi: allora, mettiamola cosi, come dimostreresti che, fissata una costante intera C>0 e un primo p, esistono infiniti interi positivi n tali che $\displaystyle \prod_{i=0}^C{\upsilon_p(n+i)}<n$?


Ps. $\upsilon_p(n)$ e' la massima potenza di $p\in\mathbb{P}$ che divide $n$
Ps2. Inventata al momento..

diciamo che non ho mai visto una produttoria con una costante...ma mi verrebbe da sviluppare un limite per i che tende a C se è il massimo allora la disuguaglianza a varrà per ogni valore di i<C (sembra un'induzione mascherata )
ps: vorrei un aiutino su come sfruttare $ v_p $

L'aiutino e' che se un primo p divide n allora $\upsilon_p(n) \le \log_p(n)$..

Intuisco che dato che al primo membro ho una produttoria al secondo membro ( magari proprio c) al secondo perché è primo e divide n e facendo il logaritmo a sinistra e a destra il logaritmo stesso dimostrerà la disuguaglianza...(almeno dimmi se sono sulla strada giusta mi sto scervellando)

Non devi prendere i logaritmi dei due membri; devi semplicemente applicare l'aiuto sopra

Visto che non stiamo andando OT, concludo la dicussione qui:

$\displaystyle \prod_{i=0}^C{\upsilon_p(n+i)}\le \prod_{i=0}^C{\log_p(n+i)}<(\log_p(n+C))^{C+1}< K (\log(n))^{C+1}$ per qualche costante $K>0$. Ma questo e' sempre piu' piccolo di $n$, per ogni $n$ sufficientemente grande.

In due parole volevo dire che, se l'induzione non ti porta da nessuna parte, prova a limitare la funzione $\sigma_1(\cdot)$ con qualche bound come qui sopra..

Questo per un qualsiasi valore di C fissato??(perché a volte mi trovo smarrito nel mettermi a pensare al più grande) ,proprio perché c e k non sai bene cosa sono poni n abbastanza grande??
Comunque si è tutto chiaro...è solo che mi manca ancora la pratica di sviluppare anche solo il logaritmo elevato alla C+1(bell'espediente!)

Robertopphneimer ha scritto:Questo per un qualsiasi valore di C fissato??

Si. Puoi riformularlo in modo equivalente $\log(n)<n^{\varepsilon}$ per ogni $\varepsilon>0$, forse ti sembrerà piu' familiare..

si anche se secondo me potresti anche mettere solo $ \prod_{i=0}^C \log_p(n+1) < (\log(n+C)^C $poicheé se tu pensi che tuti i prodotti della produttoria sono di tutti i valori n+1 dove $ 0< i <C $ ovviamente il tutto sarà minore del prodotto di altrettanti n+C.

Robertopphneimer ha scritto:si anche se secondo me potresti anche mettere solo $ \prod_{i=0}^C \log_p(n+1) < (\log(n+C)^C $poicheé se tu pensi che tuti i prodotti della produttoria sono di tutti i valori n+1 dove $ 0< i <C $ ovviamente il tutto sarà minore del prodotto di altrettanti n+C.

La produttoria e' degli $n+i$, non $n+1$, e i fattori sono esattamente $C+1$.

Anche ammettendo che quello sia un errore di scrittura, la disuguaglianza da te scritta è falsa in quanto:

$ \prod_{i=0}^C \log_p(n+i)>\prod_{i=0}^C{\log_p(n)^{C+1}} =K\log(n)^{C+1} >(\log(n+C))^C $ per qualche costante $K$ e ogni $n$ sufficientemente grande.

ah giusto non avevo contato per i =0 comunque si ok tutto apposto a parte ancora qualche indecisione sul fatto che $ n > k (log(n))^{C+1} $

Più che altro perché io so solo che$ n > log(n) $ (lo si vede dallo studio di funzione) ma se K e C determinassero l'uguaglianza o addirittura la disuguaglianza in senso contrario?

misà che stiamo un pò off-topic..jordan però ti prego mandami la risposta almeno per mp

Robertopphneimer ha scritto:..tutto apposto a parte ancora qualche indecisione sul fatto che $ n > k (log(n))^{C+1} $

Fatti lo "studio di funzione" di $n^{\frac{1}{C}}-\log(n)$ con $C>0$ costante arbitraria fissata, deduci che e' definitivimanete positiva e che quindi $\displaystyle \lim_{n\to \infty}{\frac{\log(n)}{n^{1/C}}}=0$, e in particolare $\log(n)^C<n$ per ogni $n\ge n_0$..

perfetto..per fare 0 il limite ovviamente il denominatore dev'essere più grande del numeratore( ho usato De l'Hopital ) inoltre ho fatto anche lo studio di funzione e si viene crescente...quindi in caso posso confermare così la mia tesi. Grazie per la disponibilità .
ps ho visto un $ [tex] $n \> n_0/tex] così m'inviti a nozze..dici che posso dimostrarlo anche per induzione senza sequenze?? solo con un semplice n+1?

Si, andrebbe bene anche per induzione, ma è ovvio che il tuo $n_0$ dipende $C$, per cui sei costretto a trovare una "giusta" funzione di $C$, verificare il passo base, cosi come l'ipotesi che la disuglianza verificata da $n_0$ a $n$ implica quella in $n+1$: dire che l'ordine di $n$ è piu' grande di quello di $\log(n)$ e' decisamente piu' veloce..

Ps. Ora, torniamo al problema originale

Si grazie mille per trovare la funzione "giusta£ di C mi cimenterò da solo inoltre l'induzione è troppo lunga per cose così semplici (alla fine è solo !/C che ci disturba il tutto),perciò vedrò dopo ora sono impicciato con il Let e vari mod quindi...grazie di tutto,ho appreso molto,torniamo al problema originale-