metto quello che ho pensato sperando sia giusto, se volete provare per conto vostro non leggete
in generale dati 2 vettori u,v e indicando con $|u|,|v|$ le loro norme allora abbiamo che almeno uno tra $|v+u|,|v-u|$ è maggiore o uguale a $|u|$ con uguaglianza solo se $|v|=0$ (perchè?). Infatti per la disuguaglianza triangolare $|v+u|+|v-u|=|u+v|+|u-v|\ge |u+v+u-v|=|2u|=2|u|$ da cui la tesi.
Considerando i 2 vettori complessi $x^2+1$ e $x$ abbiamo quindi che uno tra $|x^2+x+1|,|x^2-x+1|$ è $\ge |x|$ con uguaglianza solo se $x^2+1=0$ ovvero $x=+-i$.
Quindi partendo da una radice complessa qualsiasi diversa da +-i possiamo costruire una successione infinita di radici complesse di norma crescente, assurdo.
Cosa potrebbe andare storto? Che prima o poi la nostra successione finisca su +-i quindi smetta di crescere. Per ovviare al problema è sufficiente verificare che l'equazione $x^2+-x+1=+-i$ ha soluzioni $i+1,i,i-1,1-i,-i,-i-1$ e nessuno di queste ha norma minore di i, quindi una successione di norma crescente non finirà mai in +-i a meno che non parta proprio da li. E' tutto un po' contorto ma spero sensato, a questo punto è facile concludere.