OliForum Matematico

Uh, grande ma_go! Mi era un attimino sfuggito \(x_{-1} = 0\) xD E federico l'aveva pure detto...
Comunque si, la periodicità mi era chiara: le terne di resti modulo \(n\) sono finite, gli elementi della serie infiniti \(\Rightarrow\) a una certa una terna si ripete e, vista la ricorrenza, da lì i resti si ripetono uguali a prima.
Grazie!

Si è molto più chiaro grazie

Considero la sequenza degli $x_i$ modulo $10^n$. Definito $x_{-1}=0$ e $x_{0}=1$ si ha che la sequenza vale per n>-2. Ora considero le $10^{3n}$ terne $(x_{-1},x_0,x_1),(x_0,x_1,x_2)...$. La terna (0,0,0) non può presentarsi, dunque ci sono solo $10^{3n}-1$ terne possibili, allora una terna si ripete e dato che ogni termine dipende dai 3 precedenti la successione è periodica con periodo massimo $10^{3n}-1$. Ora dato che lo 0 si trova all'interno della successione, vi è un $x_i$ divisibile per $10^n$. Può andare?

no, non è una soluzione completa, perché dimostri solo che la successione è periodica da un certo punto in poi. per capirci, non è detto che la prima terna che si ripete sia proprio $(0,1,2)$, ma potrebbe essere $(3,6,11)$ (ad esempio).
in sostanza, devi escludere l'antiperiodo.