OliForum Matematico

Si l'ho preso da lì il problema e ho messo quella soluzione solo perché gottinger95 mi aveva chiesto ma..poi? E l'avevo scritta non avendo visto il tuo post altrimenti avrei lasciato agli altri...
P.s. È davvero un ottimo libro

Ecco come l'ho fatto:
\(\ \ \ \)Testo nascosto:
\(\ \ \ \)1. Sfrutto come Jordan che \(\displaystyle \overline{a_1} = \overline{a_2} \frac{a_2}{a_1} \):
\(\ \ \ \)\(\displaystyle \overline{\frac{a_1}{a_2} +\frac{a_2}{a_1}} = \frac{\overline{ a_1} }{\overline{ a_2} } +\frac{\overline{ a_2} }{\overline{ a_1} } = \frac{a_1}{a_2} +\frac{a_2}{a_1} \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \frac{a_1}{a_2} +\frac{a_2}{a_1} \in \mathbb{R} \)
\(\ \ \ \)2. Vera perchè quadrato: \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} +\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_1^2+a_2^2}{a_1 a_2} \geq -2 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ (a_1+a_2)^2 \geq 0\)

Mi dispiace di aver solo simulato il testo nascosto però quello vero mi incasina le formule

Gottinger95 ha scritto: \(\displaystyle \frac{a_1}{a_2} +\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_1^2+a_2^2}{a_1 a_2} \geq -2 \ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ (a_1+a_2)^2 \geq 0\)

Attenzione, stai moltiplicando ambo i membri per $q^2=a_1a_2$, che è un complesso. Come definisci una disuguaglianza tra complessi? In piu', se $q^2$ fosse un reale negativo, allora quella disuguaglianza cambierebbe verso..

Ok, ho fatto una vaccata da terza media, probabilmente. Riprovo. Sfrutto che hanno stesso modulo e che \(z\overline{z} = |z|^2\):

\( \displaystyle \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_1\overline{a_2}}{|a_2|^2} + \frac{a_2\overline{a_1} }{|a_1|^2} = \frac{a_1 \overline{a_2} + a_2 \overline{a_1} }{|a_1|^2} \geq -2 \ \ \Leftrightarrow\ \ \ a_1 \overline{a_2} + a_2 \overline{a_1} +2|a_1|^2 \geq 0 \)

Proseguo (stacco per problemi di espacio):

\(a_1 \overline{a_2} + a_2 \overline{a_1} + |a_1|^2 + |a_2|^2 = a_1 \overline{a_2} + a_2 \overline{a_1} + a_1 \overline{a_1} + a_2 \overline{a_2} \geq 0 \)

Continuo a scomporre:
\( (a_1 + a_2)(\overline{a_1} + \overline{a_2}) = (a_1+a_2)\overline{(a_1+a_2)} = |a_1+a_2|^2 \geq 0 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \) WIN

Molto meglio