Questa soluzione è assolutamente inaccettabile, poichè è priva dell\'essenziale enunciazione iniziale degli assiomi della logica e della teoria degli insiemi utilizzati; essa inoltre non è scritta esclusivamente attraverso la notazione logica simbolica, e dunque mancante della precisione e del rigore che ciò apporterebbe.
<BR>
<BR>Sono inoltre usati diversi simboli e concetti tra cui N, Z, \"per ogni\", !=, =, <=, min, €, \"intervallo reale\" senza che le relative definizioni siano state precedentemente enunciate e omettendo le dimostrazioni dei teoremi relativi ad essi usati (ad es. a <= b <=> a + 1 <= b + 1).
<BR>
<BR>Infine la soluzione contiene notazioni quali \"a,..,b\" che non si addicono per nulla ad un\'esposizione di alto livello e strettamente rigorosa come quella necessaria per la soluzione di un problema come questo.
<BR>
<BR>Spero quindi che possa essere presto disponibile una nuova versione di questa prima parte della soluzione che, contrariamente alla versione pervenuta, sia completa e di carattere formale e rigoroso.
<BR>
Per euler25
Moderatore: tutor
Non posso che associarmi ad antimateria... davvero, euler, come puoi non renderti conto che messaggi del tenore di questo tuo ultimo non hanno assolutamente nulla a che vedere con la matematica che cerchiamo di fare qui?
<BR>
<BR>Certo, quella delle OdM non è la tua \"Matematica\", l\'apparato formale è ridotto, si punta soprattutto a mettere in evidenza le idee ed i passaggi logici che sottendono una dimostrazione: la sostanza c\'è, magari la confezione che la contiene non è delle migliori. Ma come potrebbe essere altrimenti?
<BR>
<BR>E\' del tutto evidente che pedagogicamente questa è l\'unica strada possibile, e in questo forum non ci sono matematici, ma studenti (in genere di scuola superiore) che si sono da poco avvicinati alla disciplina. Te ne sei accorto?
<BR>
<BR>Per renderti conto di cosa si intenda per \"matematica olimpica\" e quale sia l\'apparato teorico da cui attinge potresti guardarti un po\' di problemi sul sito www.kalva.demon.co.uk.
<BR>
<BR>Credo che la miglior risposta a queste mie osservazioni sarebbe una soluzione dell\'esercizio in stile olimpico, e ciò non per nostra rivalsa (davvero! e comunque lo sai...), ma per una questione di intelligibilità da parte di chi frequenta il forum. Perdona lo slogan, ma la non-comprensione pregiudica la comunicazione.
<BR>
<BR>Certo, quella delle OdM non è la tua \"Matematica\", l\'apparato formale è ridotto, si punta soprattutto a mettere in evidenza le idee ed i passaggi logici che sottendono una dimostrazione: la sostanza c\'è, magari la confezione che la contiene non è delle migliori. Ma come potrebbe essere altrimenti?
<BR>
<BR>E\' del tutto evidente che pedagogicamente questa è l\'unica strada possibile, e in questo forum non ci sono matematici, ma studenti (in genere di scuola superiore) che si sono da poco avvicinati alla disciplina. Te ne sei accorto?
<BR>
<BR>Per renderti conto di cosa si intenda per \"matematica olimpica\" e quale sia l\'apparato teorico da cui attinge potresti guardarti un po\' di problemi sul sito www.kalva.demon.co.uk.
<BR>
<BR>Credo che la miglior risposta a queste mie osservazioni sarebbe una soluzione dell\'esercizio in stile olimpico, e ciò non per nostra rivalsa (davvero! e comunque lo sai...), ma per una questione di intelligibilità da parte di chi frequenta il forum. Perdona lo slogan, ma la non-comprensione pregiudica la comunicazione.
-
Ospite
uppo solo questo thread perche mi piacerebbe vedere una soluzione piu\' olimpica del quesito...
<BR>non mi interessa se la persona che la postera\' sia euler_25 o qualcun altro, l\'importante e\' dare una strategia per tutti i problemi simili a questo...
<BR>
<BR>permettetemi poi due parole solo per euler_25: il mio scopo non e\' quello di attaccarti ma solo di farti capire perche la tua soluzione non e\' adatta a dei ragazzi olimpici...
<BR>dalle mie parti una soluzione cosi viene definita \"bookish\" perche si limita a esporre con una quantita\' immensa di notazione e di passaggi (mi sto ancora chiedendo il perche di una notazione cosi ehm.. \"alternativa\")...
<BR>a me, personalmente, interessa il problem solving, con i suoi dubbi e incertezze di percorso cosicche\' alla vista di un problema simile mi possa tornare in mente il post, il suggerimento, l\'errore fatto in precedenza e dire: \"ah, e\' vero, ho gia\' risolto un problema cosi\'..\"
<BR>per il resto, agli addetti ai lavori le tue soluzioni sono corrette, ma siamo sicuri che la correttezza(anche formale) sia la cosa piu\' importante?
<BR>
<BR>nel mondo esistono 11 tipi diversi di persone: quelle che conoscono il sistema binario, quelle che non lo capiscono e antimateria
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 10-12-2003 20:36 ]
<BR>non mi interessa se la persona che la postera\' sia euler_25 o qualcun altro, l\'importante e\' dare una strategia per tutti i problemi simili a questo...
<BR>
<BR>permettetemi poi due parole solo per euler_25: il mio scopo non e\' quello di attaccarti ma solo di farti capire perche la tua soluzione non e\' adatta a dei ragazzi olimpici...
<BR>dalle mie parti una soluzione cosi viene definita \"bookish\" perche si limita a esporre con una quantita\' immensa di notazione e di passaggi (mi sto ancora chiedendo il perche di una notazione cosi ehm.. \"alternativa\")...
<BR>a me, personalmente, interessa il problem solving, con i suoi dubbi e incertezze di percorso cosicche\' alla vista di un problema simile mi possa tornare in mente il post, il suggerimento, l\'errore fatto in precedenza e dire: \"ah, e\' vero, ho gia\' risolto un problema cosi\'..\"
<BR>per il resto, agli addetti ai lavori le tue soluzioni sono corrette, ma siamo sicuri che la correttezza(anche formale) sia la cosa piu\' importante?
<BR>
<BR>nel mondo esistono 11 tipi diversi di persone: quelle che conoscono il sistema binario, quelle che non lo capiscono e antimateria
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 10-12-2003 20:36 ]
Tutto questo casino per dimostrare il principio di induzione???
<BR>tu sei completamente fuori.
<BR>e anzi, permetti di dirlo, sei assolutamente privo di qualsiasi gusto estetico matematico. Si vede che fai ingegneria (non intendo insultare tutti gli ingegneri. solo quelli che, come il nostro caro euler, pretendono di sapere la matematica come un matematico). se tu amassi la matematica giocheresti con lei, non ti limiteresti a una serie infinita di enunciazioni e notazioni solo per timore che qualcuno possa coglierti in fallo per una notazione non capita. qua dentro se dici R intendi l\'insieme dei numeri reali o un raggio o una costante, a seconda del problema. le tue notazioni son inutili e le tue dimostrazioni sono noiose. Manchi di senso estetico, te lo ripeto. Per chi studia matematica le tue soluzioni sono un insulto. Te loi dico sinceramente. Non sai nemmeno cosa sia l\'eleganza, e il tuo modo di parlare rivela anche questo. usi un linguaggio così \"fiorito\" per nascondere la mancanza di talento matematico.
<BR>Con questo discorso non volgio dire che io ho talento, voglio solo puntualizzare che tu non ne hai. Una bella dimostrazione è una dimostrazione breve. non una lunga e che fa ricorso a teorie complicate.
<BR>Esempio: Problema isoperimetrico: Trovare la figura piana che, a parità di perimetro ha la massima area.
<BR>Si può risolverlo per via geometrica o con l\'analisi funzionale. secondo me una dimostrazione geometrica è molto più elegante perchè è capibile anche da chi non conosce l\'analisi funzionale. quella è eleganza. la dimostrazione dell\'infinità dei numeri primi data da euclide, quella è eleganza. non certo la tua, mascherata da un linguaggio TROPPO pompato. e se tu parli così davvero, beh, devi cambiare tono quando parli di matematica. Inchinarti davanti a tanti (io mi escludo) di questo forum che danno soluzioni e dimostrazioni molto più eleganti di te.
<BR>ciao
<BR>Stefano
<BR>
<BR>ps: scriverò poco nel forum, da oggi in poi. non per paura del confronto. ma non ho voglia di alimentare ancora questa inutile (?) discussione. passo e socchiudo.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 10-12-2003 21:17 ]
<BR>tu sei completamente fuori.
<BR>e anzi, permetti di dirlo, sei assolutamente privo di qualsiasi gusto estetico matematico. Si vede che fai ingegneria (non intendo insultare tutti gli ingegneri. solo quelli che, come il nostro caro euler, pretendono di sapere la matematica come un matematico). se tu amassi la matematica giocheresti con lei, non ti limiteresti a una serie infinita di enunciazioni e notazioni solo per timore che qualcuno possa coglierti in fallo per una notazione non capita. qua dentro se dici R intendi l\'insieme dei numeri reali o un raggio o una costante, a seconda del problema. le tue notazioni son inutili e le tue dimostrazioni sono noiose. Manchi di senso estetico, te lo ripeto. Per chi studia matematica le tue soluzioni sono un insulto. Te loi dico sinceramente. Non sai nemmeno cosa sia l\'eleganza, e il tuo modo di parlare rivela anche questo. usi un linguaggio così \"fiorito\" per nascondere la mancanza di talento matematico.
<BR>Con questo discorso non volgio dire che io ho talento, voglio solo puntualizzare che tu non ne hai. Una bella dimostrazione è una dimostrazione breve. non una lunga e che fa ricorso a teorie complicate.
<BR>Esempio: Problema isoperimetrico: Trovare la figura piana che, a parità di perimetro ha la massima area.
<BR>Si può risolverlo per via geometrica o con l\'analisi funzionale. secondo me una dimostrazione geometrica è molto più elegante perchè è capibile anche da chi non conosce l\'analisi funzionale. quella è eleganza. la dimostrazione dell\'infinità dei numeri primi data da euclide, quella è eleganza. non certo la tua, mascherata da un linguaggio TROPPO pompato. e se tu parli così davvero, beh, devi cambiare tono quando parli di matematica. Inchinarti davanti a tanti (io mi escludo) di questo forum che danno soluzioni e dimostrazioni molto più eleganti di te.
<BR>ciao
<BR>Stefano
<BR>
<BR>ps: scriverò poco nel forum, da oggi in poi. non per paura del confronto. ma non ho voglia di alimentare ancora questa inutile (?) discussione. passo e socchiudo.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: pazqo il 10-12-2003 21:17 ]
Stefano 'Pazqo' Pascolutti
A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-
Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!
www.pazqo.altervista.org
A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-
Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!
www.pazqo.altervista.org
-
psion_metacreativo
- Messaggi: 645
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>
<BR>a[n] = n per n=0,1,...,\"p\"
<BR>
<BR>Determinare il resto di a[\"p\"³] modulo \"p\".
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>probabilmente è una domanda stupida ma le \"p\" sopra sono lo stesso numero?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 10-12-2003 21:27 ]
<BR>
<BR>a[n] = n per n=0,1,...,\"p\"
<BR>
<BR>Determinare il resto di a[\"p\"³] modulo \"p\".
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>probabilmente è una domanda stupida ma le \"p\" sopra sono lo stesso numero?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: psion_metacreativo il 10-12-2003 21:27 ]
Va bene, vedrò di adeguare il mio stile pomposto, come qualcuno ha scelto di definirlo, alle circostanze e di evitarvi i dettagli. Guardate che le critiche le accetto di buon grado, soprattutto se mi sono presentate con dovizia di argomentazioni come, a seguito del mio ultimo post su questo argomento, qui è stato fatto. Quindi, mi limiterò soltanto a tracciare le direttrici del mio ragionamento. Utilizzerò innanzitutto i seguenti:
<BR>
<BR>Lemma 1: per ogni n,p€N tali che p >= 1, avviene che:
<BR>
<BR> sum_{k = 1}^{p} [(k + n)!]/[(n + 1)!(k - 1)!] =
<BR>
<BR> = [(p + n + 1)!]/[(n + 2)!(p - 1)!]
<BR>
<BR>ove q! indica il fattoriale di q, per ogni q€N (ricordo che si pone: 0! := 1).
<BR>
<BR>DIM.: omessa, per brevità!
<BR>
<BR>Lemma 2: fissato ad arbitrio un p€N, poniamo ricorsivamente:
<BR>S_{0}(0) := 0; S_{0}(p) := 1, per p >= 1, ed S_{n + 1}(p) :=
<BR>= sum_{k = 0}^{p} S_{n}(k), per ogni n€N\\{0}. Allora:
<BR>i) per ogni n€N: S_{n}(0) = 0;
<BR>ii) per ogni n€N: S_{n}(1) = 1.
<BR>iii) per ogni n,p€N, con p >= 1:
<BR>
<BR>S_{n + 1}(p) = [(p + n)!]/[(n + 1)!(p - 1)!] =
<BR>
<BR> = [prod_{k = 0}^{n} (p + k)]/(n + 1)!
<BR>
<BR>iv) per ogni n,p€N: S_{n}(p)€N.
<BR>v) per ogni primo p >= 3 e per ogni n€N:
<BR>
<BR>S_{n + 1}(p - 1) = 1 (mod.p) se n = - 1 (mod p)
<BR>S_{n + 1}(p - 1) = - 1 (mod.p) se n = 0 (mod p)
<BR>S_{n + 1}(p - 1) = 0 (mod.p) altrimenti
<BR>
<BR>vi) per ogni primo p >= 3 e per ogni n€N:
<BR>
<BR>S_{n + 1}(p) = 1 (mod p) se n = -1 (mod p)
<BR>S_{n + 1}(p) = 0 (mod p) altrimenti
<BR>
<BR>DIM.: ovvia e banale!
<BR>
<BR>Veniamo dunque all\'esercizio di Lordgauss. Innazitutto, detta
<BR>{a_{n}(p)}_{n >= 0} la successione ricorrente definita assumendo, per ogni p€N\\{0}: a_{n}(p) := n se 0 <= n < p e a_{n}(p) := a_{n - 1}(p) +
<BR>+ a_{n - p}(p) per n >= p, si prova innanzitutto che, per ogni n€N ed ogni p€N\\{0}, a_{n}(p) è un numero naturale; e quindi che:
<BR>
<BR>\\/m,p€N\\{0}, p >= 2 e \\/k = 0, 1,..., p - 1: a_{(m + 1)p + k}(p) =
<BR>
<BR> = a_{(m + 1)p - 1}(p) + sum_{n = 0}^{k} a_{mp + n}(p)
<BR>
<BR>Inutile perderci sopra del tempo! Andiamo avanti? Sì, dai, andiamo avanti! Mostriamo allora che:
<BR>
<BR>\\/m,p€N\\{0}, p >= 2 e \\/k = 0, 1,..., p - 1: a_{mp + k}(p) =
<BR>
<BR> = sum_{n = 0}^{m - 1} [S_{n}(k + 1)*a_{(m - n)p - 1}(p)] +
<BR>
<BR> + S_{m + 1}(k) (@)
<BR>
<BR>ove {S_{n}(k)} è l\'ulteriore successione definita per via iterativa in riferimento ai lemmi premessi alla soluzione effettiva del problema. Siccome non è il caso di formalizzarsi troppo, stavo pensando che, in effetti, potremmo sorvolare sulla dimostrazione, tanto mi pare abbastanza scontata, non credete pure voi? Beh, a questo punto, abbiamo praticamente finito: infatti, è immediato constatare, partendo dalla (@), che - per ogni p primo >= 3: a_{p^3}(p) = 0 (mod p), o almeno così mi sembra! Non vi pare? Beh, l\'esercizio sarebbe risolto, pur di riconoscere che la successione degli a_{n}(p) che ho considerato nel corso delle mie argomentazioni generalizza la sequenza degli a[n] indicata da Lordgauss nella traccia del suo quesito! A presto risentirci, allora!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 11-12-2003 22:39 ]
<BR>
<BR>Lemma 1: per ogni n,p€N tali che p >= 1, avviene che:
<BR>
<BR> sum_{k = 1}^{p} [(k + n)!]/[(n + 1)!(k - 1)!] =
<BR>
<BR> = [(p + n + 1)!]/[(n + 2)!(p - 1)!]
<BR>
<BR>ove q! indica il fattoriale di q, per ogni q€N (ricordo che si pone: 0! := 1).
<BR>
<BR>DIM.: omessa, per brevità!
<BR>
<BR>Lemma 2: fissato ad arbitrio un p€N, poniamo ricorsivamente:
<BR>S_{0}(0) := 0; S_{0}(p) := 1, per p >= 1, ed S_{n + 1}(p) :=
<BR>= sum_{k = 0}^{p} S_{n}(k), per ogni n€N\\{0}. Allora:
<BR>i) per ogni n€N: S_{n}(0) = 0;
<BR>ii) per ogni n€N: S_{n}(1) = 1.
<BR>iii) per ogni n,p€N, con p >= 1:
<BR>
<BR>S_{n + 1}(p) = [(p + n)!]/[(n + 1)!(p - 1)!] =
<BR>
<BR> = [prod_{k = 0}^{n} (p + k)]/(n + 1)!
<BR>
<BR>iv) per ogni n,p€N: S_{n}(p)€N.
<BR>v) per ogni primo p >= 3 e per ogni n€N:
<BR>
<BR>S_{n + 1}(p - 1) = 1 (mod.p) se n = - 1 (mod p)
<BR>S_{n + 1}(p - 1) = - 1 (mod.p) se n = 0 (mod p)
<BR>S_{n + 1}(p - 1) = 0 (mod.p) altrimenti
<BR>
<BR>vi) per ogni primo p >= 3 e per ogni n€N:
<BR>
<BR>S_{n + 1}(p) = 1 (mod p) se n = -1 (mod p)
<BR>S_{n + 1}(p) = 0 (mod p) altrimenti
<BR>
<BR>DIM.: ovvia e banale!
<BR>
<BR>Veniamo dunque all\'esercizio di Lordgauss. Innazitutto, detta
<BR>{a_{n}(p)}_{n >= 0} la successione ricorrente definita assumendo, per ogni p€N\\{0}: a_{n}(p) := n se 0 <= n < p e a_{n}(p) := a_{n - 1}(p) +
<BR>+ a_{n - p}(p) per n >= p, si prova innanzitutto che, per ogni n€N ed ogni p€N\\{0}, a_{n}(p) è un numero naturale; e quindi che:
<BR>
<BR>\\/m,p€N\\{0}, p >= 2 e \\/k = 0, 1,..., p - 1: a_{(m + 1)p + k}(p) =
<BR>
<BR> = a_{(m + 1)p - 1}(p) + sum_{n = 0}^{k} a_{mp + n}(p)
<BR>
<BR>Inutile perderci sopra del tempo! Andiamo avanti? Sì, dai, andiamo avanti! Mostriamo allora che:
<BR>
<BR>\\/m,p€N\\{0}, p >= 2 e \\/k = 0, 1,..., p - 1: a_{mp + k}(p) =
<BR>
<BR> = sum_{n = 0}^{m - 1} [S_{n}(k + 1)*a_{(m - n)p - 1}(p)] +
<BR>
<BR> + S_{m + 1}(k) (@)
<BR>
<BR>ove {S_{n}(k)} è l\'ulteriore successione definita per via iterativa in riferimento ai lemmi premessi alla soluzione effettiva del problema. Siccome non è il caso di formalizzarsi troppo, stavo pensando che, in effetti, potremmo sorvolare sulla dimostrazione, tanto mi pare abbastanza scontata, non credete pure voi? Beh, a questo punto, abbiamo praticamente finito: infatti, è immediato constatare, partendo dalla (@), che - per ogni p primo >= 3: a_{p^3}(p) = 0 (mod p), o almeno così mi sembra! Non vi pare? Beh, l\'esercizio sarebbe risolto, pur di riconoscere che la successione degli a_{n}(p) che ho considerato nel corso delle mie argomentazioni generalizza la sequenza degli a[n] indicata da Lordgauss nella traccia del suo quesito! A presto risentirci, allora!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 11-12-2003 22:39 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
-
Antimateria
- Messaggi: 651
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Vergate sul Membro
Euler, non ho tempo di leggere tutto quello che hai scritto (ma lo farò!), ho letto solo la conclusione, che purtroppo mi pare errata!
<BR>
<BR>Infatti, secondo la mia analisi del problema, a<sub>p<sup>3</sup></sub> = -1 (mod p), in quanto la successione dei resti modulo p ha periodo p<sup>2</sup>-1. Appena ne avrò il tempo, scriverò le mie argomentazioni.
<BR>
<BR>Per il momento, per convincerti della plausibilità di ciò che dico, prova a fare un esperimento numerico!
<BR>
<BR>Infatti, secondo la mia analisi del problema, a<sub>p<sup>3</sup></sub> = -1 (mod p), in quanto la successione dei resti modulo p ha periodo p<sup>2</sup>-1. Appena ne avrò il tempo, scriverò le mie argomentazioni.
<BR>
<BR>Per il momento, per convincerti della plausibilità di ciò che dico, prova a fare un esperimento numerico!
Non ve n\'è bisogno, caro, te ne do atto! Ma la ragione non sta certo in un difetto della logica perseguita, ma piuttosto in un imperdonabile errore di battitura, diciamo così?! O credi davvero che dopo tutto l\'impegno che ci ho messo avrei usato l\'imprudenza di non verificare a mezzo di qualche esempio numerico la correttezza delle mie deduzioni? Guarda che anche a me capita di avere delle sviste, non penso di aver mai sostenuto la tesi contraria! E poi considera che pur\'io come qualcuno (non so te) ho installato il Mathematica sul mio PC; ed anch\'io so usarlo come \"Iddio comanda\"! L\'unica differenza sta nel fatto che, personalmente, tendo ad abusarne un po\' meno degli altri! Comunque, ancora grazie per la tua puntualissima annotazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 23:49 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-10 23:47, euler_25 wrote:
<BR>Non ve n\'è bisogno, caro, te ne do atto! Ma la ragione non sta certo in un difetto della logica perseguita, ma piuttosto in un imperdonabile errore di battitura, diciamo così?! O credi davvero che dopo tutto l\'impegno che ci ho messo avrei usato l\'imprudenza di non verificare a mezzo di qualche esempio numerico la correttezza delle mie deduzioni? Guarda che anche a me capita di avere delle sviste, non penso di aver mai sostenuto la tesi contraria! E poi considera che pur\'io come qualcuno (non so te) ho installato il Mathematica sul mio PC; ed anch\'io so usarlo come \"Iddio comanda\"! L\'unica differenza sta nel fatto che, personalmente, tendo ad abusarne un po\' meno degli altri! Comunque, ancora grazie per la tua puntualissima annotazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 23:49 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Euler, mi puoi dire che cosa è, questo Mathematica. Lo si compra oppure posso scaricarlo? Ti ringrazio antipatamente.
<BR>
<BR>Saluti,
<BR>Stipe
<BR>On 2003-12-10 23:47, euler_25 wrote:
<BR>Non ve n\'è bisogno, caro, te ne do atto! Ma la ragione non sta certo in un difetto della logica perseguita, ma piuttosto in un imperdonabile errore di battitura, diciamo così?! O credi davvero che dopo tutto l\'impegno che ci ho messo avrei usato l\'imprudenza di non verificare a mezzo di qualche esempio numerico la correttezza delle mie deduzioni? Guarda che anche a me capita di avere delle sviste, non penso di aver mai sostenuto la tesi contraria! E poi considera che pur\'io come qualcuno (non so te) ho installato il Mathematica sul mio PC; ed anch\'io so usarlo come \"Iddio comanda\"! L\'unica differenza sta nel fatto che, personalmente, tendo ad abusarne un po\' meno degli altri! Comunque, ancora grazie per la tua puntualissima annotazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 23:49 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Euler, mi puoi dire che cosa è, questo Mathematica. Lo si compra oppure posso scaricarlo? Ti ringrazio antipatamente.
<BR>
<BR>Saluti,
<BR>Stipe
Software per fare matematica a livello anche teorico. personalmente preferisco il Maple.
<BR>Lo trovi anche da scaricare, ma è illegale. Dovresti comprarlo, ma costa davvero molto. per gli studenti c\'è la licenza studenti che è comunque molto costosa. Vedi se riesci a procurarti una copia, non ti serve a nulla avere il certificato originale, se non sei un docente (o ricercatore universitario), tanto esce ogni anno una versione nuova. ora sono arrivati alla 5°.
<BR>ciao ciao
<BR>
<BR>Ps: se sei all\'università, potresti chiedere a uno dei docenti se può prestarti il suo cd e installarlo da quello. Io ho fatto così. I professori son tutti molto disponibili, in genere. Poi dipende dalle università
<BR>Lo trovi anche da scaricare, ma è illegale. Dovresti comprarlo, ma costa davvero molto. per gli studenti c\'è la licenza studenti che è comunque molto costosa. Vedi se riesci a procurarti una copia, non ti serve a nulla avere il certificato originale, se non sei un docente (o ricercatore universitario), tanto esce ogni anno una versione nuova. ora sono arrivati alla 5°.
<BR>ciao ciao
<BR>
<BR>Ps: se sei all\'università, potresti chiedere a uno dei docenti se può prestarti il suo cd e installarlo da quello. Io ho fatto così. I professori son tutti molto disponibili, in genere. Poi dipende dalle università
Stefano 'Pazqo' Pascolutti
A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-
Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!
www.pazqo.altervista.org
A good mathematical joke is better, and better mathematics, than a dozen of mediocre papers -John Edensor LITTLEWOOD-
Use [tex]\LaTeX[/tex] in your math messages!
www.pazqo.altervista.org
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-10 23:47, euler_25 wrote:
<BR>Non ve n\'è bisogno, caro, te ne do atto! Ma la ragione non sta certo in un difetto della logica perseguita, ma piuttosto in un imperdonabile errore di battitura, diciamo così?! O credi davvero che dopo tutto l\'impegno che ci ho messo avrei usato l\'imprudenza di non verificare a mezzo di qualche esempio numerico la correttezza delle mie deduzioni? Guarda che anche a me capita di avere delle sviste, non penso di aver mai sostenuto la tesi contraria! E poi considera che pur\'io come qualcuno (non so te) ho installato il Mathematica sul mio PC; ed anch\'io so usarlo come \"Iddio comanda\"! L\'unica differenza sta nel fatto che, personalmente, tendo ad abusarne un po\' meno degli altri! Comunque, ancora grazie per la tua puntualissima annotazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 23:49 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Saro\' un rompiscatole, ma che vuol dire errore di battitura?? Io posso capire che si sbagli un segno intermedio, si metta n al posto di m o h al posto di k o addirittura si scambino < e > , ma che si scriva \"0\" pensando di star scrivendo \"-1\" mi sembra quantomeno folle!! E se ti sei accorto dell\'errore, perche\' non modifichi il passaggio in cui le tue dita hanno incespicato??
<BR>
<BR>Mah...chissa\' che ti frullava tra un orecchio e l\'altro, caro Leonard...forse un giorno noi meschini arriveremo a comprendere gli schemi e i contorti percorsi di queste menti di superiore ingegno (o ingegneria, che dir si voglia)...speriamo solo che simili fausti tempi giungano presto!!
<BR>On 2003-12-10 23:47, euler_25 wrote:
<BR>Non ve n\'è bisogno, caro, te ne do atto! Ma la ragione non sta certo in un difetto della logica perseguita, ma piuttosto in un imperdonabile errore di battitura, diciamo così?! O credi davvero che dopo tutto l\'impegno che ci ho messo avrei usato l\'imprudenza di non verificare a mezzo di qualche esempio numerico la correttezza delle mie deduzioni? Guarda che anche a me capita di avere delle sviste, non penso di aver mai sostenuto la tesi contraria! E poi considera che pur\'io come qualcuno (non so te) ho installato il Mathematica sul mio PC; ed anch\'io so usarlo come \"Iddio comanda\"! L\'unica differenza sta nel fatto che, personalmente, tendo ad abusarne un po\' meno degli altri! Comunque, ancora grazie per la tua puntualissima annotazione! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 10-12-2003 23:49 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Saro\' un rompiscatole, ma che vuol dire errore di battitura?? Io posso capire che si sbagli un segno intermedio, si metta n al posto di m o h al posto di k o addirittura si scambino < e > , ma che si scriva \"0\" pensando di star scrivendo \"-1\" mi sembra quantomeno folle!! E se ti sei accorto dell\'errore, perche\' non modifichi il passaggio in cui le tue dita hanno incespicato??
<BR>
<BR>Mah...chissa\' che ti frullava tra un orecchio e l\'altro, caro Leonard...forse un giorno noi meschini arriveremo a comprendere gli schemi e i contorti percorsi di queste menti di superiore ingegno (o ingegneria, che dir si voglia)...speriamo solo che simili fausti tempi giungano presto!!
-
Antimateria
- Messaggi: 651
- Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
- Località: Vergate sul Membro
<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2003-12-07 01:38, lordgauss wrote:
<BR>Sia dato un primo p > 3. Definiamo la sequenza a[n] come:
<BR>a[n] = n per n=0,1,...,p-1
<BR>a[n] = a[n-1] + a[n-p] per n > p-1
<BR>Determinare il resto di a[p³] modulo p.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scrivo qui la mia soluzione del problema, come monito a chi mi accusa gratuitamente di \"non masticare la matematica\", per poi partorire una dimostrazione orripilante, oltre che sbagliata, di questo stesso problema.
<BR>[D\'ora in poi indichero\' con {a<sub>n</sub>} la successione dei resti modulo p (e non la successione originaria), e con = indichero\' la congruenza modulo p.]
<BR>
<BR>
<BR>- Notiamo che {a<sub>n</sub>} e\' periodica, in quanto il termine generico a<sub>n</sub> dipende solo da a<sub>n-1</sub> e da a<sub>n-p</sub>. Dunque, partizionando la successione in \"stringhe\" disgiunte di p elementi consecutivi, e\' sufficiente che 2 stringhe siano uguali affinche\' {a<sub>n</sub>} sia periodica. Ma siccome esistono solo p<sup>p</sup> stringhe distinte, per il principio dei cassetti ne esisteranno due uguali fra le prime p<sup>p</sup>+1.
<BR>
<BR>- Oltre ad essere periodica, {a<sub>n</sub>} non ha antiperiodo. Per convincersene, basta verificare che {a<sub>n</sub>} puo\' essere estesa in modo unico anche \"all\'indietro\" (sempre rispettando la regola che a<sub>n</sub> = a<sub>n-1</sub>+a<sub>n-p</sub>). Percio\', anche i primi elementi di {a<sub>n</sub>} fanno parte del periodo.
<BR>
<BR>- Dimostrero\' di seguito che {a<sub>n</sub>} ha periodo p<sup>2</sup>-1, da cui deriva che a<sub>p<sup>3</sup></sub> = a<sub>p</sub> = -1, in quanto p<sup>3</sup> = p(p<sup>2</sup>-1)+p.
<BR>
<BR>- A questo scopo, definiamo la funzione f(x,y) = a<sub>px+y</sub>, dove x e y sono interi compresi tra 0 e p-1. Ora, l\'idea chiave consiste nel dimostrare che
<BR>[1] f(x,y) = C(x+y,x+1)-C(x+y,y+1),
<BR>dove C(a,b) indica il coefficiente binomiale a!/(b!(a-b)!), con la convenzione che C(a,b)=0 se uno dei fattoriali e\' negativo.
<BR>
<BR>- Per farlo, occorre esaminare il triangolo di Tartaglia modulo p: siccome il termine k-esimo della riga n-esima vale C(n,k) (si dimostra facilmente per induzione), allora tutti i termini della riga p-esima valgono 0, esclusi il primo e l\'ultimo, che valgono 1. Cio\' deriva dal fatto che se k e\' compreso tra 1 e p-1, C(p,k)=p!/(k!(p-k)!), che e\' un multiplo di p perche\' il p a numeratore non puo\' essere annullato dal denominatore, che e\' il prodotto di interi minori di p. Questa riga di 0 (meno gli estermi) genera un triangolo di 0 nel triangolo di Tartaglia, e gli 1 agli estremi generano due file di 1 ai \"lati\" del triangolo di 0.
<BR>Tradotto, significa che:
<BR>[2] C(p+k,j)=0 se 0<=k<=p-2 e k+1<=j<=p-1,
<BR>[3] C(p+k,k)=C(p+k,p)=1 se 0<=k<=p-1.
<BR>
<BR>- Detto questo, la dimostrazione della [1] per induzione e\' automatica (si ricordi che x e y sono compresi tra 0 e p-1):
<BR>se x=0, f(0,y) = a<sub>y</sub> = y = C(y,1)-C(y,y+1), e la [1] e\' verificata (i primi p valori della successione sono dati dal problema).
<BR>La verifica per f(1,0) e\' immediata, perche\' f(1,0) = a<sub>p-1</sub>+a<sub>0</sub> = -1 = C(1,2)-C(1,1).
<BR>Se y=0, e supponendo la [1] vera fino ad un certo x-1 (con 2<=x<=p-1), allora f(x,0) = a<sub>px</sub> = a<sub>p(x-1)+p-1</sub>+a<sub>p(x-1)</sub> = f(x-1,p-1)+f(x-1,0) = C(p+x-2,x)-C(p+x-2,p)+C(x-1,x)-C(x-1,1) = 0-1+0-(x-1) = -x = C(x,x+1)-C(x,1), e la [1] e\' verificata (nell\'esplicitare i binomiali, abbiamo usato la [2] e la [3], prendendo k=x-2 e j=x).
<BR>In tutti gli altri casi, la verifica e\' ancora piu\' semplice: f(x,y) = f(x-1,y)+f(x,y-1) = C(x+y-1,x)-C(x+y-1,y+1)+C(x+y-1,x+1)-C(x+y-1,y) = C(x+y,x+1)-C(x+y,y+1) (ho usato la nota formula C(n,k)+C(n,k+1) = C(n+1,k+1)).
<BR>La [1] e\' cosi\' dimostrata per induzione.
<BR>
<BR>- Notiamo che f(x,y) e\' antisimmetrica rispetto alle 2 variabili, ovvero f(x,y)=-f(y,x). Infatti, f(x,y)+f(y,x) = C(x+y,x+1)-C(x+y,y+1)+C(y+x,y+1)-C(y+x,x+1) = 0.
<BR>
<BR>- Possiamo ora usare la [1] per calcolare gli a<sub>p<sup>2</sup>-p+y</sub> = a<sub>p(p-1)+y</sub> = f(p-1,y), con y compreso tra 0 e p-1:
<BR>per l\'antisimmetria, se y=0, allora f(p-1,0) = -f(0,p-1) = 1.
<BR>Sempre per l\'antisimmetria, se y=p-1, allora f(p-1,p-1) = -f(p-1,p-1), da cui f(p-1,p-1) = 0.
<BR>Per 1<=y<=p-2, vale f(p-1,y) = C(p+y-1,p)-C(p+y-1,y+1) = 1-0 = 1 (ho usato ancora la [2] e la [3] con k=y-1 e j=y+1).
<BR>
<BR>- Dunque, a<sub>p(p-1)+y</sub> = 1 per 0<=y<=p-2, e a<sub>p(p-1)+p-1</sub> = 0. Questo basta per concludere che {a<sub>n</sub>} ha periodo p<sup>2</sup>-1, perche\' abbiamo trovato nella successione p-1 volte 1 seguiti da uno 0, che sara\' quindi seguito da 1, 2, 3, ..., p-1, ripetendo i primi p valori della successione.
<BR>
<BR>- Allora {a<sub>n</sub>} ha periodo p<sup>2</sup>-1 e quindi, come detto sopra, a<sub>p<sup>3</sup></sub> = -1.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://images.google.it/images?q=tbn:3g ... onspir.jpg"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 13-12-2003 20:15 ]
<BR>On 2003-12-07 01:38, lordgauss wrote:
<BR>Sia dato un primo p > 3. Definiamo la sequenza a[n] come:
<BR>a[n] = n per n=0,1,...,p-1
<BR>a[n] = a[n-1] + a[n-p] per n > p-1
<BR>Determinare il resto di a[p³] modulo p.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Scrivo qui la mia soluzione del problema, come monito a chi mi accusa gratuitamente di \"non masticare la matematica\", per poi partorire una dimostrazione orripilante, oltre che sbagliata, di questo stesso problema.
<BR>[D\'ora in poi indichero\' con {a<sub>n</sub>} la successione dei resti modulo p (e non la successione originaria), e con = indichero\' la congruenza modulo p.]
<BR>
<BR>
<BR>- Notiamo che {a<sub>n</sub>} e\' periodica, in quanto il termine generico a<sub>n</sub> dipende solo da a<sub>n-1</sub> e da a<sub>n-p</sub>. Dunque, partizionando la successione in \"stringhe\" disgiunte di p elementi consecutivi, e\' sufficiente che 2 stringhe siano uguali affinche\' {a<sub>n</sub>} sia periodica. Ma siccome esistono solo p<sup>p</sup> stringhe distinte, per il principio dei cassetti ne esisteranno due uguali fra le prime p<sup>p</sup>+1.
<BR>
<BR>- Oltre ad essere periodica, {a<sub>n</sub>} non ha antiperiodo. Per convincersene, basta verificare che {a<sub>n</sub>} puo\' essere estesa in modo unico anche \"all\'indietro\" (sempre rispettando la regola che a<sub>n</sub> = a<sub>n-1</sub>+a<sub>n-p</sub>). Percio\', anche i primi elementi di {a<sub>n</sub>} fanno parte del periodo.
<BR>
<BR>- Dimostrero\' di seguito che {a<sub>n</sub>} ha periodo p<sup>2</sup>-1, da cui deriva che a<sub>p<sup>3</sup></sub> = a<sub>p</sub> = -1, in quanto p<sup>3</sup> = p(p<sup>2</sup>-1)+p.
<BR>
<BR>- A questo scopo, definiamo la funzione f(x,y) = a<sub>px+y</sub>, dove x e y sono interi compresi tra 0 e p-1. Ora, l\'idea chiave consiste nel dimostrare che
<BR>[1] f(x,y) = C(x+y,x+1)-C(x+y,y+1),
<BR>dove C(a,b) indica il coefficiente binomiale a!/(b!(a-b)!), con la convenzione che C(a,b)=0 se uno dei fattoriali e\' negativo.
<BR>
<BR>- Per farlo, occorre esaminare il triangolo di Tartaglia modulo p: siccome il termine k-esimo della riga n-esima vale C(n,k) (si dimostra facilmente per induzione), allora tutti i termini della riga p-esima valgono 0, esclusi il primo e l\'ultimo, che valgono 1. Cio\' deriva dal fatto che se k e\' compreso tra 1 e p-1, C(p,k)=p!/(k!(p-k)!), che e\' un multiplo di p perche\' il p a numeratore non puo\' essere annullato dal denominatore, che e\' il prodotto di interi minori di p. Questa riga di 0 (meno gli estermi) genera un triangolo di 0 nel triangolo di Tartaglia, e gli 1 agli estremi generano due file di 1 ai \"lati\" del triangolo di 0.
<BR>Tradotto, significa che:
<BR>[2] C(p+k,j)=0 se 0<=k<=p-2 e k+1<=j<=p-1,
<BR>[3] C(p+k,k)=C(p+k,p)=1 se 0<=k<=p-1.
<BR>
<BR>- Detto questo, la dimostrazione della [1] per induzione e\' automatica (si ricordi che x e y sono compresi tra 0 e p-1):
<BR>se x=0, f(0,y) = a<sub>y</sub> = y = C(y,1)-C(y,y+1), e la [1] e\' verificata (i primi p valori della successione sono dati dal problema).
<BR>La verifica per f(1,0) e\' immediata, perche\' f(1,0) = a<sub>p-1</sub>+a<sub>0</sub> = -1 = C(1,2)-C(1,1).
<BR>Se y=0, e supponendo la [1] vera fino ad un certo x-1 (con 2<=x<=p-1), allora f(x,0) = a<sub>px</sub> = a<sub>p(x-1)+p-1</sub>+a<sub>p(x-1)</sub> = f(x-1,p-1)+f(x-1,0) = C(p+x-2,x)-C(p+x-2,p)+C(x-1,x)-C(x-1,1) = 0-1+0-(x-1) = -x = C(x,x+1)-C(x,1), e la [1] e\' verificata (nell\'esplicitare i binomiali, abbiamo usato la [2] e la [3], prendendo k=x-2 e j=x).
<BR>In tutti gli altri casi, la verifica e\' ancora piu\' semplice: f(x,y) = f(x-1,y)+f(x,y-1) = C(x+y-1,x)-C(x+y-1,y+1)+C(x+y-1,x+1)-C(x+y-1,y) = C(x+y,x+1)-C(x+y,y+1) (ho usato la nota formula C(n,k)+C(n,k+1) = C(n+1,k+1)).
<BR>La [1] e\' cosi\' dimostrata per induzione.
<BR>
<BR>- Notiamo che f(x,y) e\' antisimmetrica rispetto alle 2 variabili, ovvero f(x,y)=-f(y,x). Infatti, f(x,y)+f(y,x) = C(x+y,x+1)-C(x+y,y+1)+C(y+x,y+1)-C(y+x,x+1) = 0.
<BR>
<BR>- Possiamo ora usare la [1] per calcolare gli a<sub>p<sup>2</sup>-p+y</sub> = a<sub>p(p-1)+y</sub> = f(p-1,y), con y compreso tra 0 e p-1:
<BR>per l\'antisimmetria, se y=0, allora f(p-1,0) = -f(0,p-1) = 1.
<BR>Sempre per l\'antisimmetria, se y=p-1, allora f(p-1,p-1) = -f(p-1,p-1), da cui f(p-1,p-1) = 0.
<BR>Per 1<=y<=p-2, vale f(p-1,y) = C(p+y-1,p)-C(p+y-1,y+1) = 1-0 = 1 (ho usato ancora la [2] e la [3] con k=y-1 e j=y+1).
<BR>
<BR>- Dunque, a<sub>p(p-1)+y</sub> = 1 per 0<=y<=p-2, e a<sub>p(p-1)+p-1</sub> = 0. Questo basta per concludere che {a<sub>n</sub>} ha periodo p<sup>2</sup>-1, perche\' abbiamo trovato nella successione p-1 volte 1 seguiti da uno 0, che sara\' quindi seguito da 1, 2, 3, ..., p-1, ripetendo i primi p valori della successione.
<BR>
<BR>- Allora {a<sub>n</sub>} ha periodo p<sup>2</sup>-1 e quindi, come detto sopra, a<sub>p<sup>3</sup></sub> = -1.
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><IMG SRC="http://images.google.it/images?q=tbn:3g ... onspir.jpg"><!-- BBCode End --><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Antimateria il 13-12-2003 20:15 ]
Ho promesso di cambiare registro in questo forum e intendo mantenere fede alla parola data, per cui eviterò di replicare alle tue ingiuriose affermazioni... e mi limiterò a riconoscerti, semplicemente, che 6 molto bravo! La tua soluzione mi piace, ha stile ed eleganza, e inoltre è DOVIZIOSA di particolari! Complimenti, complimenti davvero! Soltanto, mi chiedevo: tu, della mia soluzione, ci hai capito qualcosa? No, perché sinceramente qualche dubbio mi è sorto, visto che non hai neppure riconosciuto il fatto che, in effetti, anch\'io intendevo dimostrare (sebbene per altra via) la periodicità della sequenza! Boh, forse è solo che senza i dettagli è difficile districarsi fra i passaggi logici di una dimostrazione o di una soluzione, le quali di conseguenza possono anche apparire agli occhi di chi legge, in virtù di molteplici fattori, tutti comunque fondati e pienamente condivisibili, un sordido groviglio di rozzi e indecifrabili segni d\'una verità sconnessae delirante! Non credi? E allora, tirando le somme? Beh, allora, direi che, nonostante mi sia dovuto sorbire le tue critiche oltraggiose e nonostante TI ABBIA LASCIATO calpestare sotto i piedi il mio vile orgoglio in nome di un maledetto ideale, in cui però io fermamente credo, penso proprio (a questo punto) di aver raggiunto il mio obiettivo, forse (almeno a sentir te) mancando di risolvere l\'esercizio proposto da Gauss, e di conseguenza perdendo l\'occasione di \"guadagnarmi sul campo la sua stima\" (mi dispiace, Lord! Sarà per la prossima, magari...), ma certo dimostrando a te e a tutti gli altri che tanto han criticato lo stile \"inutilmente formale ed ampolloso\" dei miei post che, in fondo in fondo, non avevo troppo torto quando difendevo con gli artigli e con i denti la mia tesi e le mie posizioni... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 13-12-2003 22:30 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>