Basta pensare che, per ogni quadrato \(q\) in \(1, \ldots, n/s\), dove \(s\) è uno squarefree \(\le n\), esiste un non-squarefree, precisamente \(qs\), in \(1,\ldots, n\).
Anzi, questa è una bigezione, perchè vale anche il contrario: ogni non-squarefree è composto da uno squarefree \(\le n\) e un quadrato \(\le n/s\).
In formule, detto \(S(x) \) l'insieme degli squarefree minori di \(x\):
\[ N(x) = \sum_{s \in S(x)} Q(x/s)\]
Usando il fatto che \( Q(x/s) \ge Q(x)/s\), abbiamo
\[ N(x) \ge Q(x) \sum_{s \in S(x) } \frac{1}{s} \]
Consideriamo \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \sum_{s \in S(x)} \frac{1}{s} \) (cioè la somma estesa a tutti gli squarefree del mondo): ogni numero della forma \(s^{-1}\) si può scrivere come \((p_1 \cdot \ldots \cdot p_k)^{-1}\) (grazie al pene) per certi primi \(p_1, \ldots, p_k\), perciò possiamo scrivere la nostra somma come:
\[ \lim_{x \to \infty} \sum_{s \in S(x)} \frac{1}{s} = \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( 1+ \frac{1}{p} \right ) (*) \]
perchè a ogni parentesi di destra decidiamo se prenderci o meno il primo che ci vuole dare (scegliendo \(1\) oppure \(1/p\) ).
Vogliamo dimostrare che (*) diverga (ossia faccia \(\infty\) ):
\[ \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( 1+ p^{-1} \right ) = \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( \frac{ 1- p^{-2} }{ 1-p^{-1} } \right ) = \left [ \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( \frac{1}{1-p^{-1} } \right ) \right ] \cdot \left [ \prod_{p \in \mathbb{P} } \left ( \frac{1}{1-p^{-2} } \right ) \right ]^{-1} = \left ( \sum_{n \in \mathbb{N} } \frac{1}{n} \right ) \left ( \sum_{n \in \mathbb{n}} \frac{1}{n^2} \right )^{-1} = \infty \]
Perchè la somma degli \(1/n\) diverge e la somma degli \(1/n^2\) converge (abbiamo usato, nel penultimo passaggio, il
prodotto di eulero).
Visto perciò che \( (*) = \infty\), per ogni \(c\) esiste un \(x_c\) tale che per tutti gli \(x > x_c\) vale \( \displaystyle \sum_{s \in S(x) } \frac{1}{s} > c\), perciò:
\[ N(x) \ge Q(x) \sum_{s \in S(x) } \frac{1}{s} > c Q(x) \]
che è ciò che Jordan chiese.
P.S. Comunque oh, il lemma del post è fichissimo! Cioè, pensavo che gli squarefree fossero relativamente pochi, invece sono più della metà! Tra l'altro @Jordan, con il lemma di ramanujan che mi avevi mostrato questo è potentissimo
