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Tu ti fideresti di quel conto ?

Nota anche che se i tuoi conti sono corretti dalla prima colonna puoi semplificare un $p-a$, dalla seconda un $p-b$ e dalla terza un $p-c$. Difatti facendo un multiplo di una colonna il determinante si moltiplica per una costante, ma la sua zerezza o non-zerezza non cambia. È solo un dettaglio, ma semplifica un pochino quel determinante che ti preoccupava.

Eh infatti, sembra una cosa abbastanza simmetrica, forse riesci anche a trovare il punto senza enormi fatiche...

Provo con una soluzione sintetica:
Chiamo $ \alpha, \beta, \gamma $ gli angoli in A, B, C. Sappiamo $ I_ACQ=I_ACB=\frac{\pi - \gamma}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2} $ e $ PBI_A=I_ABC=\frac{\alpha + \gamma}{2} $ dal fatto che $ BI_A $ e $ CI_A $ sono bisettrici degli angoli esterni. $ API_AQ $ è ciclico dato che $ I_AQ \perp AC $ e $ I_AP \perp AB $. Da questo $ \frac{\alpha}{2}=PAI_A=I_APQ=I_AQP $. $ CI_AQ=\frac{\gamma}{2} $ perchè complementare di $ I_ACQ=\frac{\pi - \gamma}{2} $. Con lo stesso ragionamento $ BI_AP=\frac{\beta}{2} $. Usando il teorema dell'angolo esterno su $ I_AQE $ e considerando $ I_AED $ l'angolo esterno $ I_AED=\frac{\alpha + \gamma}{2} $, per gli stessi motivi $ I_ADE=\frac{\alpha + \beta}{2} $. $ I_ADCQ $ è ciclico perchè $ I_ACQ = I_ADQ $ e insistono tutti e due su $ I_AQ $. Da questo ricavo $ CDQ=CI_AQ=\frac{\gamma}{2} $ e dalla ciclicità di $ I_APBE $(che si ottiene da considerazioni simili a quelle già fatte per $ I_AQCD $) $ PEB=PI_AB=\frac{\beta}{2} $. Ora guardo $ DECB $: è ciclico perchè $ BDE $ è supplementare di $ \frac{\alpha+\beta}{2} $, che sarebbe $ ECB $, essendo quest'ultimo uguale a $ I_ACQ $. Quindi $ DCB=DEB=\frac{\beta}{2} $ quindi $ DC \parallel BI $ (I è l'incentro) perchè formano angoli alterni interni rispetto a $ BC $; $ CDE=EBC=\frac{\gamma}{2} $ e $ EB\parallel CI $. Il fatto vale anche per le costruzioni di $ B_1 $ e $ C_1 $. $ A_1CIB $ è un parallelogramma e allora $ CA_1=BI $, $ AC_1BI $ è un parallelogramma:$ C_1A=BI $. Deduciamo che $ AC_1A_1C $ è un parallelogramma(ha la coppia di lati $ AC_1 $ e $ CA_1 $ paralleli e congruenti perchè lo erano con $ BI $). $ CC_1 $ e $ AA_1 $ si incontrano nel punto medio di $ CC_1 $, ma considerando il parallelogramma $ BC_1B_1C $, $ BB_1 $ e $ CC_1 $ si incontrano nello stesso punto medio di $ CC_1 $ da dove passava $ AA_1 $.
Che ne dite? è giusta?

Rilancio: sia $H_A$ l'intersezione di $I_AA_1$ e $BC$. $H_B, H_C$ definiti similmente. Dimostrare che $AH_A$ e cicliche concorrono.