OliForum Matematico

mmmm...
 
 tra k numeri CONSECUTIVI ci sono almeno
 
 int(k/2) numeri divisibili per 2
 int(k/3) numeri divisibili per 3
 int(k/4) numeri divisibili per 4
 etc etc
 1 numero divisibile per k
 
 dunque il prodotto di k numeri consecutivi e\' sicuramente multiplo di k!
 
 a mio parere la mia soluzione funziona e mi sembra uguale a quella di andrea aggiunta: (ok non e\' uguale, ma secondo me, andrea voleva dire questo!) ma non ne sono sicura..sono un po\' fusa ultimamente quindi fatemi sapere!
 grazie e ciauz
 -f- [ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 09-01-2004 23:20 ]

Questa funziona, anche se detta così è un po\' approssimativa, e non è uguale a quella di andrea

questa è diversa direi, adesso non ho nulla da obbiettare <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
 (non era così ovvio il passaggio)
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 ops...vabbé, io e Lord la pensiamo evidentemente uguale.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 09-01-2004 23:19 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-09 16:58, franc wrote:
 
 2. si determinino gli interi positivi k tale che il polinomio P(x)=x^5+x^4+x³+kx²+x+1 si possa scrivere come prodotto di polinomi di grado inferiore a 5
 
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 questo è quasi immediato me sono taaanti conti <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
 visto che la sommadei gradi dei polinomi \"fattori\" (chiamiamoli R(x) e Q(x)) deve essere 5, abbiamo 2 possibilità
 -deg[R(x)]=1, deg[Q(x)]=4 o viceversa
 -deg[R(x)]=2, deg[Q(x)]=3 o viceversa
 
 ovviamente possiamo per simmetria fregarcene dei \"viceversa\", e analizzare queste 2 possibilità
 
 nel primo caso, un osservazione utile è che, visto che possiamo scrivere
 P(x)=(x-a)Q(x), segue che a è radice di P(x), quindi divide il termine noto, quindi è +1 o -1. quindi se a=1
 P(a)=5+k=0 cioè k=-5 otherwise
 P(a)=k-1=0 cioè k=1
 e si verifica che per questi due valori il polinomio si può effettivamente scomporre
 
 nel secondo caso, visto che il termine noto di P(x) è 1, i termini noti di R(x) e Q(x) sono entrambi 1 o entrambi -1
 introducendo dei coefficienti variabili per R(x) e Q(x), facendo i conti, uguagliando monomio per monomio e risolvendo qualche sistema si ottiene che anche qui l\'unico valore ammissibile è k=1, e si verifica che per tale valore P(x) si scompone anche in un fattore di grado 2 e uno di grado 3
 
 quindi k=-5 o k=1, e bon
 
 ----
 
 EDIT: si, beh, tutto ciò è valido se i polinomi devono essere a coefficienti interi (mi sono accorto adesso che non era nelle ipotesi) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 09-01-2004 23:58 ]

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-09 16:58, franc wrote:
 ..perdonatemi per il soggetto un po\' squallido ma non ho resistito..
 
 3. siano a_1, a_2,..., a_n, b_1, b_2,..., b_n numeri reali positivi tali che
 suma_i = sumb_i
 dimostrare che 2(sum(a_i)²/(a_i+b_i)) >= suma_i
 
 ciao
 -f-[addsig]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 poiché suma_i = sumb_i==>suma_i=(suma_i + sumb_i)/2
 inoltre, per questioni di simmetria anche
 2(sum(b_i)²/(a_i+b_i)) > =(sum[i=1...n]a_i + sum[i=1...n]b_i)/2
 ora, sottraendo membro a membro con la precedente, si ha:
 
 2(sum[i=1...n]((a_i)²-(b_i)²)/(a_i+b_i))>=0
 cioè
 sum[i=1...n](a_i-b_i)>=0, il che è vero inquanto si ottiene
 sum[i=1...n](a_i)-sum[i=1...n](b_i)=0

3) Oppure normalizziamo
 c = a / sum(a)
 d = b / sum(b) = b / sum(a)
 in modo che sum(c)=sum(d)=1
 e poi applichiamo Cauchy-Schwarz
 sum(c^2 / (c+d)) sum((c+d)) >= (sum(c))^2 = 1

...uff..visto che jack ha schiacciato una mia soluzione alternativa al problema 3 con una parecchio fighetta, posto altri due problemi (tanto con i saldi..)...
 
 il primo e\' dedicato a tutti mentre il secondo e\' un buon esercizio per chi ha voglia di prepararsi alla gara di febbraio ma magari non e\' abituato..
 
 1. trovare tutti gli interi positivi < 200 tali che n^2 + (n+1)^2 sia un quadrato perfetto
 
 2. dimostrare che esistono infiniti triangoli T tali che le lunghezze dei lati di T sono interi consecutivi e l\'area di T è intera
 
 ciao!
 -f-[addsig]

Nordic Mathematical Contest (1994?)

Ciao a tutti!
 
 Per quanto riguarda il primo vorrei sapere se sono sulla buona strada:
 allora abbiamo la nostra eq:
 
 n^2+(n+1)^2=k^2 con k numero intero
 
 chiamiamo n=2ab, n+1=a^2-b^2 e k=a^2+b^2, (terne pitagoriche) dunque se troviamo tutti gli a e b interi tali che 2ab=a^2-b^2-1 allora abbiamo finito(credo).
 Dunque...a^2-b^2-2ab-1=0 consideriamola come un\'equazione di secondo grado in a da cui a=(b^2+-sqrt(2b^2+1)) ora poichè a è intero 2b^2+1 deve essere un quadrato, abbiamo quindi 2b^2+1=q^2 (1) (q intero) che è un\'equazione di Pell con soluzione minima (q=17 e b=12), da qui applicando la formula risolutiva troviamo la forma generale delle soluzioni della (1) .
 Fatto questo possiamo trovare la forma generale delle a e quindi facendo le dovute considerazioni sul fatto che n<200 dovremmo poter tirare fuori qualcosa no?
 
 Non siate troppo pesanti con gli insulti please! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Ciao

Ciao Franc, vorrei un chiarimento sul problema dei triangoli. Sono triangoli eroniani se non ricordo male la definizione. Il fatto è: cosa intendi per interi consecutivi? Perchè ora come ora, trattandosi di un eq. diofantina, mi sembra impossibile, ad occhio, che esistano. Grazie.
 
 Credo però davvero di non aver capito la formulazione del problema. [ Questo Messaggio è stato Modificato da: dieciottantunesimi il 11-01-2004 13:24 ]

3, 4, 5
 20, 21, 29

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-11 12:53, andrea84 wrote:
 Ciao a tutti!
 
 Per quanto riguarda il primo vorrei sapere se sono sulla buona strada:
 allora abbiamo la nostra eq:
 
 n^2+(n+1)^2=k^2 con k numero intero
 
 chiamiamo n=2ab, n+1=a^2-b^2 e k=a^2+b^2, (terne pitagoriche) dunque se troviamo tutti gli a e b interi tali che 2ab=a^2-b^2-1 allora abbiamo finito(credo).
 Dunque...a^2-b^2-2ab-1=0 consideriamola come un\'equazione di secondo grado in a da cui a=(b^2+-sqrt(2b^2+1)) ora poichè a è intero 2b^2+1 deve essere un quadrato, abbiamo quindi 2b^2+1=q^2 (1) (q intero) che è un\'equazione di Pell con soluzione minima (q=17 e b=12), da qui applicando la formula risolutiva troviamo la forma generale delle soluzioni della (1) .
 Fatto questo possiamo trovare la forma generale delle a e quindi facendo le dovute considerazioni sul fatto che n<200 dovremmo poter tirare fuori qualcosa no?
 
 Non siate troppo pesanti con gli insulti please! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
 
 Ciao
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 
 l\'ho letto un po\' il fretta perche\' devo scappare a studiare ma se sei giunto a Pell dovrebbe essere corretto..magari sviluppa un attimo e poi vediamo..
 stasera ti faccio sapere meglio!
 ..per adesso, nessun insulto!!!
 ciao
 -f-

D\'accordo con Franc, ti ho dato le due terne per farti un pò di luce sul sentiero.

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-01-11 13:16, dieciottantunesimi wrote:
 Ciao Franc, vorrei un chiarimento sul problema dei triangoli. Sono triangoli eroniani se non ricordo male la definizione. Il fatto è: cosa intendi per interi consecutivi? Perchè ora come ora, trattandosi di un eq. diofantina, mi sembra impossibile, ad occhio, che esistano. Grazie.
 
 Credo però davvero di non aver capito la formulazione del problema.
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: dieciottantunesimi il 11-01-2004 13:24 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 la strada giusta e\' proprio erone!!
 ...per interi consecutivi io intendevo che x, (x+1), (x+2) sono i lati del triangolo...
 ciao!
 -f-

Per chi (compreso il mio vero io) ha voglia di fare più o meno lo stesso lavoro che sta facendo Andrea con le terne pitagoriche del primo problema, questa volta per il secondo problema ricordo che le parametriche dei tre lati nella formula di Erone per triangoli a lati interi sono:
 a= n(m^2 + n^2)
 b= m(n^2 +k^2)
 c= (m+n) (mn-k)
 Buon viaggio!

OliForum Matematico

esercizi in saldo!