OliForum Matematico

Beh..allora propongo a chi ne abbia voglia di dimostrare che sin(1°) è algebrico...solo un po\' di conti...e magari qualche bella idea per farne un po\' di meno...

chiedo scusa per il mio intervento assolutamente ignorante ed indegno, ma mi manca la definizione precisa di numero trascendente...e di conseguenza anche di numero algebrico. fino ad ora ero campato sugli allori pensando semplicemente che si chiamassero trascendenti alcuni numeri speciali tipo pigreco...
<BR>per piacere non snobbatemi ed abbiate la pietà di illuminarmi...

Non c\'è assolutamente di che scusarsi!!
<BR>
<BR>Numero algebrico (sui razionali): B si dice n.alg. su Q quando esiste un polinomio di grado n (finito)
<BR>p(X)=a_n * X^n + a_(n-1) * X^(n-1) + ... + a_1 *X +a_0
<BR>in cui a_n, ... , a_0 stanno in Q tale che p(B)=0.
<BR>
<BR>Detto A l\'insieme dei numeri algebrici, i numeri trascendenti sono gli elementi di C-A dove C è l\'insieme dei numeri complessi. Praticamente tutti i numeri non algebrici.
<BR>
<BR>Per dimostrare che un numero è algebrico di solito basta trovare un polinomio che si annulli per quel numero.
<BR>
<BR>Questo chiedevo di fare per sin(1°).
<BR>
<BR>Spero di essere stato chiaro.
<BR>
<BR>Ciao!

uhm.. è sufficiente dire che 18 è esprimibile come prodotto di fattori 2 e 3, e che sen18° è algebrico, giusto?

oh, anche lasciando perdere i fattori, è possibile...inoltre il fatto che sin(18°) sia algebrico non è completamente scontato...cmq 18 c\'entra

Questo potrebbe essere un quesito \"challenging\"..
<BR>
<BR>---
<BR>
<BR>Sia n un numero intero tra 0 e 359.
<BR>Qual e` il grado del polinomio minimo di
<BR> Sin(n GRADI) su Q?
<BR>
<BR>---

beh, si dimostra con un po\' di pazienza, lavorando geometricamente su similitudini interne ed esterne di un pentagono regolare... o comunque in quel modo si dimostra che sen(72°) è algebrico... quindi, direi che è lo stesso... (sen72° = cos18° = sqrt(1-sen²18°); se uno è algebrico lo è anche l\'altro)

ok ma tutti gli altri angoli che non sono di figure regolari es: sin(2°), sin(123°), sin(243°) ecc... come si fa? e poi il tuo ragionamento siamo sicuri che è corretto?

mm.. se non m\'inganno, essendo polinomiale (a coefficienti interi) la relazione tra sen(n°) e sen(1°), se l\'altro è algebrico, lo è anche l\'uno... è una baggianata? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

scusa qual\'è la relazione tra sin(n) e sin(1)?

esiste un polinomio di grado n in senx e cosx tale che sen(nx) = P(senx,cosx).
<BR>si dimostra per induzione.
<BR>poi, se proprio vuoi...
<BR>P_n = sum] (-1)^i*(n 2i+1)*cos(x)^(2i+1)*sen(x)^(n-2i-1) §
<BR>
<BR>§ forse non è proprio così, ma de moivre mi dice che c\'assomiglia molto...

ma_go, potresti essere un po\' + esplicito riguardo alle similitudini del pentagono? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">

mmm..
<BR>vediamo se mi ricordo, senza carta né penna...
<BR>prendi un pentagono ABCDE... prolunga AB e CD; si incontreranno in F... se non erro, BCF, ADF e BCE sono simili...

sì, ok... quindi? l\'algebricità di sen(72°) continua a sfuggirmi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">

mmm.. se non erro sen(1<IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> = p = (1-sqrt5)/2.
<BR>e p è soluzione di x²-x-1 = 0, quindi è algebrico.