Disuguaglianze

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

32xyz(x+y+z)[x²+y²+z²+xy+xz+yz] <= 9 (x+y)²(x+z)²(y+z)²
 
 dunque, essendo x,y e z strettamente positivi, a = x+y, b = y+z, c = z+x sono i lati di un triangolo. sia 2p = a+b+c = 2(x+y+z), riscriviamo il tutto come:
 
 16p(p-a)(p-b)(p-c)·[a²+b²+c²] <= 9a²b²c².
 
 a questo punto, per Erone, abbiamo
 
 (4S)²·(a²+b²+c²) <= (3abc)²
 
 e ancora
 
 (a²+b²+c²)/3 <= 3R²,
 
 dove R è il raggio della circonferenza circoscritta.
 ma allora
 
 sen²A + sen² B + sen²C <= 4/9.
 
 avevo tentato anch\'io con jensen e rielaborazioni varie, ma nulla di fatto.

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

se può far comodo nella mia disequazione a,b,c sono bi stessi di:
 
 P(m)= m^3 -a m^2 + b m - c
 
 che ha le tre radici reali positive x,y,z della disuguglianza di jack.

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Io sono arrivato a questo:
 
 cos(y-x)+sen(y)-sen(x)>=3/2
 
 pi/2>y>x>0

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

molto carina la tua trasformazione, ma_go
 
 davvero peccato che sen2 non sia concava in [0;pi]
 
 beh, a questo punto io chiederei un aiutino a chi ha proposto l\'esercizio, visto che la cosa si sta arenando
 
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J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Diciamo che le funzioni trigonometriche si derivano in modo
 piuttosto agevole..

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

Simo_the_wolf · Messaggio da **Simo_the_wolf** » 01 gen 1970, 01:33

Spero non abbia risposto nessun\'altro visto che sono stato assente x un pò di tempo comunque ecco la mia sol:
 
 sen²A+sen²B+sen²C<=9/4
 1-cos²A+1-cos²B+1-cos²C<=9/4
 3/4<=cos²A+cos²B+cos²C
 
 moltiplico il tutto x 2 e sottraggo 2 a tutti i membri e ricordando che 2cos²(x)-1=cos(2x) e che cos(C)=cos(pi-(A+B))=-cos(A+B)
 
 3/2-2<=cos(2A)+cos(2B)+2cos²(A+B)
 
 ricordando la formula di protasferesi cos(x)+cos(y)=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] e dividendo x 2
 
 -1/4<=cos²(A+B)+cos(A-B)cos(A+B)
 
 poniamo ora cos(A+B)=n e otteniamo cos(A-B)>=-(1+4n²)/(4n) che è sempre vero xkè (1+4n²)/(4n)>=1 ==> (2n-1)²>=0
 
 dovrebbe essere tutto giusto fatemi sapere...

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sembra che funzioni, occhio soltanto al fatto che può essere cos(A+B)=0, e in quel caso i passaggi finali non sono più validi
 
 comunque si rimedia subito considerando per esempio, nel caso che sia cos(A+B)=0, cioè A+B=pi/2=C, gli angoli B e C invece che A e B