OliForum Matematico

ok! visto.
<BR>
<BR>vi sottopongo questa idea. Proietto il \"terzo\" fuoco sul secondo. Si dovrebbe ottenere due ellissi \"cofocali\" e un cerchio che le taglia entrambe. I punti di intersezione del cerchio con ognuna delle ellissi stanno su una retta perpendicolare all\'asse principale. Se se e\' vero (credo di si, ma non ho mai ragionato su queste questioni) che due due ellissi \"cofocali\" si incontrano su due punti (ma gli altri due punti di intersezione dove staranno? bho?!) che stanno su una retta perpendicolare alla retta dei fuochi, allora abbiamo, per proiezione, il risultato richiesto.
<BR>
<BR>Ovviamente quanbto sopra e\' solo uno dei tanti possibili spunti, per un piu\' preciso e completo approfondimento.
<BR>
<BR>Una ossservazione a margine. Il testo presuppone che ogni coppia di ellissi abbia solo una copia di punti comuni. Come si prova cio\' (io non ho ancora la dimostrazione)
<BR>
<BR>
<BR>*********
<BR>
<BR>A pensarci meglio. Se si proietta F3 sulla (cioe\' su un qualsiasi punto punto della ) retta F1F2, si ha, per simmetria, la tesi.
<BR>
<BR>********
<BR>ma a voi convince \'sta cosa?
<BR>
<BR>mi sorgono tanti dubbi sul fatto che sia possibile \"proiettare\" i tre fuochi, che originariamente sono non allineati, su una stessa linea.
<BR>
<BR>mi aspetto impietose e conseguenziali stroncature.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 06-05-2004 14:01 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 07-05-2004 09:11 ]

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-03 15:52, EvaristeG wrote:
<BR>Data una semicirconferenza di diametro AB e centro O, siano C e D due punti su di esse e sia M il punto in cui la retta per CD incontra AB (con MB < MA e MD < MC). Le circonferenze circoscritte a AOC e BOD si intersecano nuovamente K. Dimostrare che MKO è retto.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Detto P il punto comune ad AC, OK e BD (cfr. teorema asse radicale). Siano R ed S i punti di tangenza delle tangenti da P al cerchio di centro O. Per il teorema della secante e della tangente si ha che PS^2 = PK*PO cio\' implica cke < PKS = < PSO = 90°. Analogamente si ha che < PKR = 90°. Pertanto si ha che la polare di P (rispetto a c(O)) passa per K. Ma la polare di P rispetto a c(O) passa per M e viceversa. Quindi la tesi.
<BR>
<BR>

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-05-06 13:58, sprmnt21 wrote:
<BR>
<BR>se e\' vero (credo di si, ma non ho mai ragionato su queste questioni) che due due ellissi \"cofocali\" si incontrano su due punti (ma gli altri due punti di intersezione dove staranno? bho?!) che stanno su una retta perpendicolare alla retta dei fuochi, allora abbiamo, per proiezione, il risultato richiesto.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>A mio parere due ellissi \"cofocali\" non s\'incontrano da nessuna parte, oppure non sono due.
<BR>Cioè se i fuochi sono F e G e due ipotetiche ellissi cofocali E ed E\' s\'incontrano in A, allora tanto E quanto E\' sono il luogo dei punti P tali che FP+GP=FA+GA (detto in maniera un po\' rozza, in generale 3 condizioni su un\'ellisse [parabola, iperbole] la determinano univocamente).
<BR>Perciò direi che il fascio di ellissi [iperboli, parabole] con fuochi in due punti dati [fuoco in un punto dato e direttrice parallela a una retta data] ricopre il piano \"semplicemente e senza lacune\", cioè per un punto non passano né troppe coniche né troppo poche (una).