OliForum Matematico

Azarus, scusa se faccio il grosso al posto tuo, ma visto che il problema langue insoluto da ormai un mese, e il topic intatto da 15 giorni, do la soluzione perché è bellina e al posto di quelli che sono intervenuti nella discussione comincerei ad innervosirmi (anche se immagino che se ne siano dimenticati).
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<BR>Ricordo il problema: n punti del piano hanno la proprietà che ogni retta per 2 di essi passa per un terzo punto. Dimostrare che i punti sono tutti allineati.
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<BR>Supponiamo che i punti non siano allineati. Tra tutte le coppie formate da un punto P e da una retta r consideriamo una di quelle per cui L=d(P,r) è minima, e sia H il piede della perpendicolare da P a r. Su r ci sono per Hp almeno 3 punti, di cui almeno due, poniamo A e B, sono dalla stessa parte di r rispetto ad H. Supponiamo HA < HB. Allora d(A, BP) < L, contro quanto supposto.
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<BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-03-25 19:48 ]</font><BR><BR><font size=1>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: DD il 2002-03-26 11:38 ]</font>

bellina come soluzione.....
<BR>se gallai fosse stato vivo si sarebbe strappato le vene a vedre una soluzione in cinque righe...
<BR>a proposito... rimane ancora aperta quale fosse la soluzone complicata....

Ciao a tutti,
<BR>rispolvero questo vecchio topic dicendovi che facendo qualche ricerca su internet ho scoperto la vecchia dimostrazione del teorema di Sylvester-Gallai (a quanto pare e\' conosciuto sotto questo nome).
<BR>La dimostrazione del teorema e\' una banalissima conseguenza del seguente lemma:
<BR>Dati n punti nel piano non tutti allineati chiamiamo L_j il numero di rette distinte che contengono esattamente j punti della configurazione data. Allora vale la disuguaglianza:
<BR>somme per j che va da 2 a n-1 di (j-3)L_j <= -3.
<BR>Siccome tutti i termini della sommatoria escluso il primo sono maggiori o uguali a zero, affinche\' la sommatoria sia minore di zero si deve avere necessariamente che L_2 e\' diverso da zero, cio\' che esiste almeno una retta che passa per esattamante due punti (in realta\' si dimostra che ne esistono almeno 3).
<BR>Il problema e\' allora dimostrare il lemma. Sull\'articolo che ho trovato c\'e\' scritto che e\' una facile conseguenza del teorema di Eulero. A me tanto facile non sembra, visto che ci ho pensato su un po\' di tempo senza riuscire ad arrivare da nessuna parte. Tra l\'altro per motivi strani questa soluzione interesserebbe parecchio un mio amico.
<BR>Voi che siete piu\' giovani e piu\' allenati ce la fate a darmi una mano?
<BR>Ciao
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