OliForum Matematico

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 On 2005-01-01 18:54, info wrote:
 Potete smontarmi la mia ultima sol? Ha altri difetti a parte quello di nn considerare che le aree dei cerchiolini possano uscire dal cerchio grosso? E\' molto diverso il tuo approccio fph?
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 Non eccessivamente... l\'\"idea base\" che serve l\'hai gia\' tirata fuori, ma sei andato un po\' \"fuori strada\" con i ragionamenti successivi: insisti sull\'idea che quei quadrati sembrano delle aree...
 meglio che non dica altro se no rischio che passi piu\' tempo a interpretare i miei suggerimenti che a risolvere il problema <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> e ciò è male.
 
 ciao,
 --federico

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 On 2005-01-03 17:56, psion_metacreativo wrote:
 Va interpretato (come sospettavo da un abbozzo di soluzione che ho provato a fare) nel che senso che in realtà 2005 è un numero così a caso e potevi dire n qualsiasi?
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 No, 2005 è l\'anno in cui viviamo, non è un numero così a caso.

Io provo con questa risoluzione:
 Essendo per forza il centro \"o\" uno dei 2004 punti, è chiaro che la massima distanza tra due punti è r=1. Provo ora a disporre più punti nel modo più \"conveniente\", cioè cercando di far risultare massima la somma dei quadrati delle distanze minime; fino a 7 punti non c\'è problema: 1 al centro e 6 sulla circonferenza a formare un esagono, per cui S=7. Ora devo piazzare l\' ottavo punto: esso può finire in 4 posti diversi: a)su uno dei vertici dell\'esagono (o sul centro) b)all\'interno dell\'esagono c)all\'esterno dell\'esagono d) su un lato o su una diagonale dell\'esagono.
 Vediamo cosa succede in ognuno dei casi:
 a) p su un vertice o sul centro, S=6 (1+1+1+1+1+1+0+0)
 b) p all’interno dell’esagono: S=(1+1+1+1+x^2+y^2+z^2+x^2) .Considero il triangolo equilatero (1/6 dell’esagono) che contiene il punto; esso viene diviso in tre triangoli ottusangoli T1, T2 e T3 che hanno i rispettivi lati: T1:1,x,y ; T2:1,x,z ; T3:1, y,z.
 Essendo ottusangoli, il quadrato del loro lato maggiore (1) è superiore alla somma dei quadrati degli altri due lati. Confrontiamo ora questa disposizione b) con l’opzione a): perché la a risulti vantaggiosa, si dovrà avere: 2 > 2x^2+y^2+z^2. x^2 è infatti minore sia di y^2 che di z^2. per questo si avrà: 1>y^2+z^2 e 1>2x, da cui , sommando:
 2>2x^2+y^2+z^2. E’ quindi dimostrato che la configurazione a) è più conveniente della b).
 c) la stessa cosa vale per un punto esterno all’esagono, infatti, chiamati x e y le distanze di quel punto dai due vertici dell’ esagono più vicini, è facilmente dimostrabile che 1>x^2+y^2.
 d) Per un punto su un segmento (diag o lato), si avrà questa somma: S=1+1+1+1+1+1+x^2+y^2. (x e y sono i due sottosegmenti la cui somma è 1). Anche in questo caso, 1>x^2+y^2, poiché se n= x+y, allora n^2>x^2+y^2.
 
 Ho quindi dimostrato che la configurazione per 8 punti che mi rende il valore della somma maggiore è la a), ora attuo lo stesso procedimento anche per il punto 9, 10, 11, 12, 13…Finché non arrivo ad avere 2004 punti, che nella loro disposizione massima saranno 6 in 6 dei sette punti iniziali e 1998 nel settimo punto. In tal modo si avrà S=1+1+1+1+1+1+0+0+0+….+0
 Cioè S=6, S<9.
 Ciao!
 Edo [ Questo Messaggio è stato Modificato da: jim il 08-01-2005 21:50 ]

Punto che nn capisco leggendo la tua sol. Come fai a dire che per massimizzare la combinazione da 8, debbano esistere 7 punti uguali alla combinazione che massimizza il 7?

L\'obiezione di info ha senso, e mi permetto di dire che l\'errore di jim è piuttosto comune.
 E poi, signori, vi prego, se vedete che il vostro approccio vi conduce a montagne di conti futili, abbandonatelo all\'istante! Vi garantisco che il problema si risolve con pochissime considerazioni \"banali\".

Allora vediamo quanto sono banali le mie considerazioni... Ho pensato ad un\'applicazione del box principle: per qualsiasi n naturali, se \"partizioniamo\" il nostro cerchio unitario in n/2 cerchi minori di raggio pari a sqrt(2/n), allora in essi vi saranno almeno due 2 punti. La configurazione massimale si ottiene se per ogni cerchio contenuto si hanno due punti posti sulla rispettiva circonferenza, costituenti un diametro, e la distanza tra due punti posti in circonferenze adiacenti deve essere maggiore di tale diametro, che risulta 2*sqrt(2/n). Ma allora la sommatoria del quadrato delle distanze minime (nella configurazione massima) sarà pari a 4*(2/n)*n = 8. Che evidentemente è minore di 9.
 
 Mi raccomando, siate clementi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 15:14 ]

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 On 2005-01-09 12:59, DB85 wrote:
 se \"partizioniamo\" il nostro cerchio unitario in n/2 cerchi minori di raggio pari a sqrt(2/n)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 A prescindere da quello che c\'è scritto dopo... ti sei accorto che non si può partizionare il cerchio in quel modo, vero? cosa intendi con \"\"partizioniamo\"\"?

Suddividere in sub-cerchi disgiunti.
 
 EDIT: Beh, non c\'è un premio di consolazione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: DB85 il 09-01-2005 13:12 ]

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 On 2005-01-09 13:11, DB85 wrote:
 EDIT: Beh, non c\'è un premio di consolazione? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
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 Lol! Il premio di consolazione è la possibilità di riprovarci! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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 On 2005-01-08 22:43, info wrote:
 Punto che nn capisco leggendo la tua sol. Come fai a dire che per massimizzare la combinazione da 8, debbano esistere 7 punti uguali alla combinazione che massimizza il 7?
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 Hai ragione! Ho ricontrollato e ho notato la cavolata che ho scritto, tuttavia non demordo e ci riprovo...
 Il mio nuovo approccio è questo: immaginiamo il cerchio di raggio 1 inscritto in un quadrato di lato 2. Se si riesce a dimostrare che la fatidica somma massima all\'interno del quadrato è <9, si dimostra automaticamente che ciò vale anche per il cerchio, che avendo area minore, ha una maggiore \"densità\" di punti.
 Ora, io sono pronto a scommettere qualsiasi cifra che la somma dei quadrati delle distanze minime tra 2004 punti in un quadrato di lato 2 è al massimo 8. Il problema è trovare una dimostrazione decorosa...
 Mi sono avvicinato un po\' di più o è peggio di prima?

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 On 2005-01-09 13:56, jim wrote:
 è al massimo 8...
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 Stranamente è quello che usciva anche a me, pur avendo sbagliato!

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 On 2005-01-09 13:56, jim wrote:
 si dimostra automaticamente che ciò vale anche per il cerchio, che avendo area minore, ha una maggiore \"densità\" di punti.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Detto così, non ha un gran senso. Puoi benissimo costruire figure di area piccola a piacere che abbiano disposizioni di punti interni con somme di distanze grandi quanto vuoi. Pensa ad un rettangolo con un lato lungo quanto vuoi e l\'altro lato sufficientemente piccolo...
 Piuttosto, qui è utile il fatto che il cerchio è sottoinsieme del quadrato, quindi insiemi di punti contenuti nel cerchio sono contenuti nel quadrato, e se provi la tesi per il quadrato l\'hai provata in particolare anche per il cerchio.
 
 Ma temo che questo approccio complichi solo il problema.

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[DG] Punti e distanze in un cerchio