OliForum Matematico

ehm... ma in tal caso verrebbero i famosi due moti armonici combinati in un ellisse, o no? Molto meglio una serie infinita di seni in un SR normale!...

info ma hai guardato bene quelle equazioni? O_o

scusa perchè proprio un ellisse? qualcosa di più simile ad una circonferenza proprio non ti piace? i moti sui due assi hanno la stessa ampiezza e periodo uguale...

integra quelle cose (così ti trovi l'espressione esplicita del moto in funzione del tempo) e DISEGNA la curva :p

poi torni qui e mi dici cosa viene

[cmq il suggerimento di aursic è più che corretto... in quel sistema di riferimento si vede tutto meglio]

Ammetto di non avere disegnato la curva... ma scusate la circonferenza E' un ellisse (con i fuochi coincidenti)... il resto sono calcoli... Integrando quelle due cose si troveranno due moti armonici con lo stesso periodo e medesima ampiezza... E due moti di questo tipo danno un ellisse, poi con il giusto angolo di fase potrà degenerare in un segmento, o in una circonferenza: è un risultato standard credo... volete proprio abbligarmi a fare calcoli? Ho già risolto un sistema di equazioni differenziali!

quelle sono le equazioni della velocità... quelle dello spazio sono leggermente diverse, anche se molto simili (devi solo integrare quelle che hai già)

Si certo... nn ho mica fatto confusione, l'ho scritto anche sopra, credo... si invertirà seno con coseno e poca altra roba...
facciamo così, quando mi viene voglia di fare i calcoli (perchè mi pare sia una questione di calcoli: raga ma siete fisici o "analisti" ?) faccio un fischio! Pensiamo ad altri problemi...

bravo:p

cmq c'è una FONDAMENTALE differenza: quando integri quell'E/B ti viene un E/B*t ... e questo cambia non poco la traiettoria.

Per questo il suggerimento di aursic era buono perchè ti eliminava quel termine

si me ne ero accorto ... solo che mi sembra una cosa da fare dopo avere risolto il sistema, un accorgimento matematico se vogliamo... Dai discorsi di Shoma85 sembrava che il SR furbo dovesse venire scelto PRIMA di fare i calcoli...

Provo a risolvere io la questione:

Posto un sistema di assi cartesiani con l’origine nella carica, asse xla direzione del campo elettrico,asse y quella del campo magnetico si ha qE+qv^B=ma ove E,B,v,a sono vettori e ^ è il segno del prodotto vettore.In componenti si ha allora il sistema di equazioni differenziali:
E-Bdz/dt=m/qdx/dt
Bdx/dt=m/qdz/dt
0=m/qdy/dt
Dalla terza segue subito, essendo per t=0 y=0 dy/dt=0 , y=0 quindi il moto è piano e si svolge sul piano xz
Derivando la prima
-Bdz/dt=m/qdx/dt
che sostituita nella seconda dà
λdx/dt+dx/dt=0 con λ=m/(qB)
che integrata una volta dà
λdx/ dt+x+k=0
la soluzione di questa sostituita nella prima ci darà la traiettoria della carica.

Osserviamo che per t=o si deve avere x=0 , dx/dt=0, e, poiché per t=0 la carica è soggetta solo al campo elettrico qE=m dx/dtda cui dx/dt=qE/m sostituendo nell’equazione λqE/m+k=0 da cui k=- λqE/m=-mE/(qB) e l’equazione diviene
λdx/ dt+x-mE/(qB)=0
che è un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti con secondo membro non nullo
Cominciamo col risolvere l’equazione omogenea associata
λdx/ dt+x=0
si ha λρ+1=0 da cui ρ=-i/ λ ρ=-i/ λ con i unità immaginaria
la soluzione dell’omogenea si può scrivere
x=C1exp(-it/λ)+C2exp(it/λ)
o più convenientemente
x=Ccos(t/λ+φ) con C e φ costanti da determinare.
La soluzione effettiva dell’equazione differenziale si otterrà aggiungendo alla precedente una sua soluzione particolare che andremo a determinare col metodo di Lagrange.
dette γ1,γ2 le funxioni opportune
γ’1exp(-it/λ)+γ’2exp(it/λ=0
-i/λγ’1exp(-it/λ)+i/γ’2exp(it/λ=-K/λ
Sommando e sottraendo
γ’1=-Ki/(2λexp((-it/λ))
γ’2=Ki/(2λexp((it/λ))
integrando queste si ha

γ1=-(K/2)exp((it/λ))
γ2=-(K/2)exp((-it/λ))
da cui la soluzione particolare è
x1= -(K/2)exp((it/λ)exp((it/λ) -(K/2)exp((it/λ)exp((it/λ)=-K

La soluzione dell’equazione è allora

x=Ccos(t/λ+φ)-K

ma per t=0 si ha x=0 dx/dt=0 onde è
c=k φ=0
infine
(1) x=-mE/(qB)cos(t/λ)-K

sostituendo nella seconda equazione di partenza ed integrando si ha facilmente

(2) z=(E/B)t-(mE/(Bq)sen(t/λ)
a questo punto abbiamo le equazioni parametriche della traiettoria.Se vogliamo ottenere ll'equazione cartesiana dobbiamo eliminare il parametro t
Si ha
x-mE/(qB)=mE/(qB)cos(t/λ)
z-Et/B=-mE/(qB)sen(t/λ)
Quadrando e sommando si ottiene lespressione di t
t=B/E[z+sqr(2mE/(qB)-x)

che dovrebbe essere sostituita in una delle due espressioni parametriche.
Ora mi sono stufato!!!!!!

a domani

La triettoria non è nè una circonferenza nè un ellisse ma una curva molto complicata. Sul piano xz essa parte dall'origine, sale fino a quando t=pi greco, poi ha una cuspide la x diminuisce mentre la z aumenta fino a t=2*pi greco e x=0
poi la x cresce nuovamentee la z diminuiscefino ad un minimo , lax continua a crescere e la z pure fino ad una nuova cuspide più alta rispetto alla precedente. la curva torna poi all'asse z e ricomincia.
L'andamento, come vedete è molto complesso e non è affatto periodico.

l'andamento non è nulla di complesso. E' una curva ben nota in fisica e matematica... è, diciamo, una traiettoria "notevole"in più ambiti.Sul fatto che non sia periodico ho decisamente qualche dubbio... bisogna stare attenti a guardare qual è l'asse su cui è periodico

una nota: con firefox (non ho IE) non riesco a vedere bene il tuo msg: ci sono dei caratteri nelle formule che non riconosce.Sarebbe opportuno, quando si scrive qualcosa in internet,garantire la massima accessibilità... tra l'altro il sito ha il supporto LaTeX...

mi spiace devo ancora imparare il latex.
Per quanto riguarda la descrizione della curva ho commesso un errore di calcolo banale.
Osserviamo che la x è massima per tutti i multipli dispari di pi greco mentre la z cresce sempre .Rappresentando la curva su un sistema di assi xz si ha un andamento che per il primo tratto sembra un arco di sinusoide con asse quello z, arco che poi si ripete a quote z più alte. Tu dici che la curva è ben nota in fisica matematica. Può essere ma io non la conosco. Qual è?
Per quanto riguarda la periodicità ripeto la traiettoria non è periodica nel senso che la carica non passa mai due volte per lo stesso punto dello spazio, ciò fisicamente si spiega perchè il campo elettrico spinge la carica sempre nella stessa direzione, non come il campo magnetico ove la direzione cambia al variare del vettore velocità. La funzione che rappresenta la traiettoria sul piano xz (cioè quello perpendicolare al campo B sembra invece periodica sull'asse delle z
(apparentemente simile al volore assoluto della funzione seno)
Non conosco il firefox ma il messaggio puoi vederlo benissimo copiandolo e incollandolo su un foglio word.
Posso assicurarti comunque che i calcoli sono corretti
Non capisco il senso di fastidio che sembra spirare dal tuo messaggio!
La scienza è confronto fra idee, errori e loro superamento. Dagli errori s'impara più che dalle cose corrette.

Uhm , huxeley, non mi sembra che Alex_zeta fosse infastidito o seccato nel risponderti; l'osservazione sulla "curva strana" era una semplice precisazione, mentre la nota sul latex era quello che ti avrei detto anch'io se avessi visto prima il tuo messaggio. I caratteri che hai usato non vengono riconosciuti da tutti i browser e la copia in word non sempre è possibile (un utente di mozilla firefox può essere benissimo in un sistema linux); nessuno ti accusa per non conoscere il latex, solo tieni presente per il futuro che sarebbe più comodo per gli altri utenti del forum se scrivessi formule particolarmente complicate (a livello di simboli) in latex. A questo proposito ti faccio presente che nella sezione "Latex, questo sconosciuto" sono indicate alcune guide al linguaggio latex; inoltre con un po' di spirito di iniziativa, puoi semplicemente leggere il codice usato da qualcun altro (compare se lasci il puntatore sopra una formula) e "imitarlo".

mi ero ripromesso di nn scrivere più nel forum "fisica" ma dato che sono stato avvisato automaticamente... e poi in fondo non stò parlando di fisica!
Huxeley, sarebbe utile che prima di postare sol, smontassi le altre così che ci sia qualche probabiltà che il tipo che ha sbagliato non ripeta più i suoi errori (anche se sarà difficile)... in pratica (senza polemiche) ho scritto cazzate sopra?

Massì, la curva credo che sia una cicloide, è su tutti i libri di fisica.
La solita traiettoria di un punto su una ruota che rotola senza strisciare a velocità costante.