OliForum Matematico

Propongo un problema credo molto molto elementare di cui però non riesco a dare dimostrazione (la geometria non vuole diventare mia amica):

Dimostrare che le altezze di un triangolo ABC sono le bisettrici del triangolo DEF ottenuto unendo i piedi delle altezze di ABC.

mario86x ha scritto: Problema#2: Dimostrare che le altezze di un triangolo ABC sono le bisettrici del triangolo DEF ottenuto unendo i piedi delle altezze di ABC.

Chiamiamo $ D $, $ E $ e $ F $ rispettivamente i piedi delle altezze condotte dai vertici $ A $, $ B $ e $ C $ ai lati $ BC $, $ AC $ e $ AB $. I triangoli $ AEB $ e $ ADB $ hanno la stessa ipotenusa $ AB $ e sono rettangoli in $ E $ e $ D $ rispettivamente; il quadrilatero $ ABDE $ è quindi inscrivibile nella semicirconferenza di diametro $ AB $. Abbiamo che: $ B \widehat E D=B \widehat A D $ perché entrambi insistono sull'arco $ BD $. Chiamiamo $ O $ l'ortocentro del triangolo $ ABC $; sappiamo per ipotesi che $ A \widehat E O=O \widehat F A = 90° $; quindi poiché $ A \widehat E O+O \widehat F A = 180° $ allora il quadrilatero $ AEOF $ è ciclico. Quindi possiamo dedurre che $ F \widehat E O = F \widehat A O $ perché entrambi insistono sull'arco $ FO $; riscriviamo quest'ultima relazione come $ F \widehat E B=B \widehat A D $ (relazione del tutto equivalente); sostituiamo questa relazione in $ B \widehat E D=B \widehat A D $ (prima dimostrata); otteniamo $ B \widehat E D=F \widehat E B $, da cui deduciamo che $ BE $ è una bisettrice del triangolo $ D E F $. Analogamente si dimostra che $ AD $ e $ CF $ sono anch'esse bisettrici del triangolo $ D E F $.
Bel problema.

Bye,
#Poliwhirl#

Mario Peppone, sei proprio tu?

[OT]
io direi che è da notare mario86x ----> location: tricase
[/OT]

non andiamo OT, cmq:
1) sì, sono io, mario peppone (ma chi non è del salento non può chiamarmi così)
2) ciao simo