OliForum Matematico

info ha scritto:mio caro... se dici "carino. e abbastanza semplice" io posso solo evincere che hai trovato una dimostrazione che i quadrati del tipo 4k+2 nun se possono fà... Se ce l'hai disponibile (cosa che non mi è ancora chiara!), scrivila...

Ho frainteso: credevo ti riferissi alla parte (2), quella che ho proposto io, della quale non conosco la dimostrazione...

Fornisco un aiutino per il primo...
(o come direbbe il prof di Meccanica Quantistica "fornisco un hint per guessare l'ansatz")

Coloriamo un scacchiera di lato 6 nel seguente modo: tutta bianca tranne le caselle
a3, b2, b5, c1, c4, d3, d6, e2, e5, f4.
Cha considerazioni si possono fare (a parte il fatto che io non avevo voglia di fare un disegnino della situazione)?

scrivo appena letto l'hint, o meglio dopo aver ragionato sù qualche minuto, reduce da un compito di mate, uno di storia ed altri "affari"...quindi... errori probabili...

La colorazione sebra fatta di modo che un tetramino debba sempre toccare una casella colorata. Ci sono 26 vaselle bianche e 10 nere.
Un tetramino tocca quindi 2 o 3 caselle bianche e dato che i tetramini sono 9 l'unica combinazione accettabile è 3*8+2*1=26. Infatti se i tetramini da 3 fossero sette, al max ci sarebbero 3*7+2*2=25 caselle bianche.
Però se vogliamo che le caselle agli angoli siano riempite servono almeno 2 tetramini che tocchino 2 caselle nere e quindi tocchino solo 2 caselle bianche. Contraddizione?

ps: il caso generale lo faccio sse ciò è corretto e garantisce una generalizzazione

Ci siamo.

La cosa si puo' fare anche senza conti, molto piu' intuitivamente.

Ci sono 10 caselle nere.
Devo posizionare 9 T-tetramini.
Ogni tetramino mi occupa una casella nera.
I tetrmini che occupano le caselle a1 e f6 occupano due caselle nere.
Rimangono 6 caselle nere e 7 tetramini.
dato che 1 tetramino posizionato = 1 casella nera occupata, non posso ricoprire quello che rimane.

Bene, fin quà ok allora... ma si riesce a trovare una colorazione bianco-nera adatta anche per k>1 ? Ripetendo lo schema dato (sempre che sia quello migliore) con un quadrato 10X10 escono 32 caselle nere, un pò troppe per 25 tetramini!
O forse per andare avanti si deve sfruttare l'impossibilità del quadrato da 6?

Scusate ma in stè cose non sono proprio bravo!

HINT per il caso pari non multiplo di 4: Colora la scacchiera... a scacchi e guarda la parità delle caselle.

Nn capisco bene sinceramente come si conciliano i due suggerimenti, ma cmq provo a seguire anche il grandissimo Marco.

Una simile colorazione crea n^2/2 caselle di ogni colore. In più un tetramino può coprire 3 caselle bianche ed una nera o viceversa. Chiamo K il numero di tetramini del primo tipo, T il numero di tetramini del secondo. Ho quindi un sistema (è la prima cosa che mi è venuta in mente!):

3k+t=n^2/2

3t+k=n^2/2

il cui ris per k per esempio è k=n^2/8.. Ma se n=4k+2 il quadrato di n non è divisibile per 8, come si può verificare svolgendo il quadrato...


ps: spero sia corretto, ma lo sapete che non mi era venuta in mente una colorazione a scacchiera? In realtà da solo non avevo neanche provato una colorazione a 2 colori, ma il mio associare un numero da 1 a 4 era come colorare con 4 pastelli... Sarà che non gioco a scacchi da anni!

EDIT: cambiato un 16 in 8...

info ha scritto:il grandissimo Marco.

A giudicare dalla foto, sarà alto sì e no 30 centimetri...

Allora ti faccio i miei ossequi, mio divino signore! No, non castigarmi, nooo... sarò fedele, lo prometto!

Ok, Info. La tua non fa una grinza. Giusto per completare la dimostrazione, chi scrive due righe sul caso dispari (lo so, è poco più che un'ovvietà...)?

Dato che seguo da un pò questo problema (senza risultati apprezzabili ) completo io, con il caso, banale, di $ n $ dispari:
se $ n $ è dispari, il numero di caselle del quadrato sarà $ n^{2} $, quindi dispari; poiché ogni tetramino copre 4 caselle, un qualsivoglia numero di tetramini, non sovrapposti, occupano uno spazio di $ t $ caselle, con $ t $ pari; segue da ciò l'impossibilità per il caso $ n $ dispari.

Bye,
#Poliwhirl#

Se immaginiamo le scacchiere binche e nere un tetromino a forma di T può colorare superfici aventi numero dispari di un colore e numero pari di caselle dell'altro? O sbaglio?

Ovviamente no. I T sono grandi 4 scacchi. Quindi N pezzi coprono 4N scacchi. Di essi, alcuni sono bianchi ealtri sono neri. La somma è pari, quindi o sono entrambi pari, o sono entrambi dispari.