OliForum Matematico

Non esattamente il dio celeste. Basta notare che per le potenze 0-esime dei numeri naturali utilizzi un polinomio di grado 1 (somma = n) e per le potenze 1-esime utilizzi un polinomio di grado 2 (somma = n(n+1)/2) sembra quindi ragionevole pensare che per i quadrati verrebbe fuori un polinomio di terzo grado, e' qui che entra in gioco l'intuizione. Naturalmente l'intuizione potrebbe essere sbagliata (e se e' sbagliata te ne accorgi subito quando vai a fare l'induzione e vedi che non funziona).

Mmmmh il fatto del polinomio di grado m+1, io direi che si può provare anche abbastanza agilmente, se a mente non prendo una cantonata e se non ricordo male, con un paio di identità dei binomiali, che a loro volta si dimostrano o in modo intutitivo o con l'induzione

C'è un metodo simpatico per trovare la formula della somma delle potenze k-esime degli interi da 1 a n. Provo a descriverlo per k = 2, ma si generalizza facilmente.

Scriviamo come segue le potenze (k+1)-esime da 2 a n+1 e sviluppiamo le potenze dei binomi:
$ \\ (1 + 1)^3 = 1 + 3\cdot1 + 3\cdot1^2 + 1^3\\ (1 + 2)^3 = 1 + 3\cdot2 + 3\cdot2^2 + 2^3\\ .\\ .\\ .\\ (1 + n)^3 = 1 + 3n + 3n^2 + n^3 $

Chiamiamo per semplicità C la somma dei primi n cubi, Q la somma dei quadrati, S la somma dei primi n numeri. Allora, sommando tutte le uguaglianze membro a membro, abbiamo:

$ C + (n+1)^3 - 1 = n + 3S + 3Q + C $

La C si semplifica, e sappiamo già che $ S = \frac{n(n+1)}{2} $, svolgendo i calcoli viene fuori la formula cercata.

Si può osservare che questo metodo, oltre a dimostrare (ovviamente si fa per induzione) che la somma delle prime n potenze k-esime è un polinomio di grado k+1, ha il vantaggio di fornire una costruzione.

ok ragazzi se siete curiosi di sistemare il tutto guardate qui.

AlessandroSfigato ha scritto:ad esempio, però, anke il fatto che tu ipotizzi che il polinomio sia di grado m+1 ti è stato ispirato da un dio celeste

No, A.S.: sta usando un fatto della teoria dei polinomi. La sequenza delle differenze prime di un polinomio di grado n è un polinomio di grado n-1 (e viceversa, la serie parziale di un polinomio di grado n-1 è un polinomio di grado n).
[una specie, se vogliamo, di derivata/integrale discreto...]

Chi lo dimostra?

Qui vogliamo calcolare la somma delle m-esime potenze (quindi la serie parziale del polinomio di grado m $ P(x) = x^m $.

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La somma dei quadrati è una formula arcinota e su questo stesso Forum è stata dimostrata in una manciata di modi diversi. E, per chi era a Cesenatico, lo ha fatto anche Jan Pataki nella sua conferenza. Provate un po' cliccando qui.

Ciao. M.

Ringrazio Franchifis per l'apprezzamento ma, e cio' vale anche come risposta ad Alessandro, occorre dire che il procedimento da me usato
si trova su quasi tutti i testi di algebra elementare.Niente di
sovrannaturale quindi.Come ha detto anche Marco, vi sono molte altre strade
( alcune di natura piuttosto elevata) per calcolare somme di potenze di interi
positivi.Se ne e' parlato spesso nel vecchio forum.

Marco ha scritto:La sequenza delle differenze prime di un polinomio di grado n è un polinomio di grado n-1 (e viceversa, la serie parziale di un polinomio di grado n-1 è un polinomio di grado n).

Ehm, sorry ma questa non l'ho capita...