OliForum Matematico

le ho fatte tutte e due per lo stage...

la prima usi riarrangiamento come diceva info perchè x,y,z o sono tutti positivi o sono tutti negativi quindi non bisogna scervellarsi per casi particolari...

la seconda è più facile
poni x=1+a y=1-a con -1<a<1

e svolgendo viene fuori che $ \displaystyle\left(1-a^4\right)\left(1-a^2\right)\leq1 $

che è ovvio come è ovvio che l'uguaglianza vale se e solo se a=0 e x=y=1

Provo una soluzione della seconda diversa da quelle proposte.

Lemma 1
Per AM-GM:
$ (\frac{S}{2})^2=1\ge P $

$ MDS =P^2(S^2-2P)=P^2(4-2P) $
la tesi si riscrive come: $ P^2(2-P)\leq 1 $ ovvero:
$ P^3-2P^2+1=(P-1)(P^2-P-1)\ge 0 $
che è vero poichè:
$ P-1 \leq 0 $
$ P^2-P-1 \leq 0 $ in virtù del lemma 1.