OliForum Matematico

Ho poco tempo, sto scrivendo a briglia sciolta, scriverò fesserie e userò termini imprecisi, ogni correzione è sempre gradita


Scrivo queste note per quella persona che tra un po' di tempo si sarà posta la mia stessa domanda ( ce ne sarà almeno uno voglio sperare) e per sapere se il modello proposto abbia senso oppure no.

Vecchio errore

Errore di visualizzazione.
Avendo poca dimestichezza sulla forza di Lorentz ero caduto in errore pensando che gli elettroni si spostassero in direzione della forza

Riporto l'esempio sbagliato in allegato 1 (giusto per intenderci)

In pratica pensavo che l'elettrone si spostasse in direzione della forza…
Gli errori concettuali sono di diverso tipo, tra cui il non tenere conto della velocità iniziale dell'elettrone quando vado ad integrare l'accelerazione per determinarne la posizione e in più si sa che una particella in un campo magnetico compie traiettorie circolari ( spirali o giù di lì)





Modello proposto

quello che voglio arrivare a capire è per quale motivo gli elettroni si spostano nella direzione della forza di Lorentz e perché la forza di Lorentz non compie lavoro.

Comunque penso di averlo capito.

Intanto ipotizziamo di farci il seguente modello.

Ho la spira.
Sappiamo che un modello elementare per un metallo è quello costituito da un reticolo cristallino(?) e dagli elettroni di valenza(?) che girano attorno a questo.

Ipotizziamo gli ioni del reticolo cristallino vincolati tra loro in modo che costituiscano un unico corpo.

Quando sposto la spira sposto il reticolo quindi.

Gli elettroni gli ronzano attorno ( un po' come le mosche su una cacca).

Quando traslo la spira gli elettroni gli vanno dietro ( nel loro solito modo casuale) se non ho il campo magnetico.

Quando c'è un campo magnetico costante avendo gli elettroni una velocità quadratica media ( si chiamava così se non sbaglio) diretta come la velocità della spira questi iniziano a ruotare (mediamente) e la forza di Lorentz non è vero che appare come nell'allegato 1 ma risulta sempre ortogonale alla velocità dell'elettrone ( e non compie lavoro mai!)

Ipotizziamo che non ci sia il reticolo cristallino.

In questo caso gli elettroni di valenza ruoterebbero e basta

Il reticolo cristallino introduce invece il fenomeno dello scattering.

Per cui la traiettoria degli elettroni risulta quella riportata in allegato 2.



in pratica descrivo l'allegato.

Quelle che ho disegnato sono le traiettorie medie

L'elettrone inizia a ruotare come se non ci fosse il reticolo, poi "sbatte" contro uno ione e torna ad acquisire velocità media nulla relativa alla spira che però si muove a velocità costante per cui una velocità media pari a quella della spira per un osservatore esterno.

Si capisce anche dall'allegato 2 che l'elettrone tende a spostarsi verso la direzione indicata nell'allegato 1 ma la forza di Lorentz non compie lavoro sull'elettrone

Chi è che allora compie il lavoro dissipato nella resistenza?

Proprio il motore che sposta il reticolo cristallino, per cui, non sono tanto gli elettroni che vengono scaraventati da una forza che li spinge contro gli ioni, ma gli ioni che vengono trascinati contro gli elettroni che ruoterebbero per i fatti loro se non disturbati

Chiedo se questo modello possa avere o meno delle falle

( tutti i ragionamenti li ho fatti a livello qualitativo a me le formule spiegano non molto)

È molto più semplice:

La forza elettromotrice ha dimensioni Joule/Coulomb. Infatti si definisce come il lavoro compiuto per unità di carica, come ho scritto prima.

Un flusso di campo magnetico variabile induce un campo elettrico. Le cariche quindi si spostano (quelle negative contro il campo).

Queste cariche in movimento costituiscono una corrente, e su un filo percorso da corrente agisce una forza di origine magnetica.

Questa forza si oppone alla velocità v, quindi è necessario compiere lavoro per mantenerla costante.

Vedi per eliminare le confusioni puoi vederla così.

In questo tuo caso non ci sono solo le forze dovute all'interazione col campo magnetico esterno, ma anche altre forze.

Ogni elettrone è soggetto a queste forze:

-forza di lorenz
-forza di struttura

La spira globalmente è soggetta a una forza esterna, quella che la mantiene a velocità costante.

Per capire meglio, inizia a supporre che non ci sia una forza esterna, per cui la spira ha velocità di traslazione iniziale v_t.

Tu sai che gli elettroni sono vincolati a scorrere all'interno della spira, e quello che li vincola è proprio la forza della struttura, che sarebbe una forza interna alla spira.

La forza di lorenz non fa lavoro, mentre la forza del reticolo può fare lavoro!

E come fai a rispettare la conservazione dell'energia?

Devi sommare tutti i singoli lavori fatti dal campo di forze interne. E' questa la variazione di energia totale. Dato che in questo caso non abbiamo una forza esterna che "spinge" la spira, e supponendo che la struttura della spira da sola non possa dare energia, il lavoro totale dev'essere 0.


Per ogni elettrone la velocità cambia... la velocità totale è la somma di due vettori: il vettore della velocità relativa al circuito (da cui calcoli la corrente) e la velocità di traslazione.

La velocità risultante potrebbe essere essere maggiore (in modulo) di prima, oppure minore oppure uguale. Se gli elettroni fossero soggetti solo alla forza di lorenz, la velocità dovrebbe restare uguale in modulo... però come abbiamo detto prima ci sono anche le forze interne di struttura.

Abbiamo visto che gli elettroni cominceranno a circolare in senso antiorario... quindi gli elettroni sul lato orizzontale superiore scorreranno verso sinistra mentre quelli sul lato orizzontale inferiore scorreranno verso destra. Cioè la velocità relativa (rispetto alla spira) degli elettroni in alto è verso sinistra, e quella degli elettroni in basso è verso destra.

Se supponi che la spira continui a traslare verso destra, avrai che gli elettroni in alto sono "più lenti" della spira mentre quelli in basso sono "più veloci"".

Se vuoi vedere come cambia l'energia cinetica di un particolare elettrone durante il suo percorso, vedi che ha un certo valore quando scorre lungo il lato verticale sx... poi aumenta quando scorre lungo il lato orizzontale in basso, poi ritorna al valore di prima quando scorre lungo il lato verticale destro.... poi diminuisce quando scorre lungo il lato orizzontale superiore.... durante il percorso l'energia cinetica dell'elettrone cambia, quindi ci dev'essere qualcuno che fa un lavoro su di lui, ed è proprio la forza di struttura. Se sommi però i lavori fatti tutti gli elettroni, ti verrà un lavoro totale nullo!

Se vuoi vedere come cambia nel tempo la velocità della spira, devi usare la conservazione dell'energia e fare certe ipotesi sulle forze di struttura e sulla relazione tra corrente indotta e campo di forza esterno.

Esprimi l'energia interna della spira (che sarebbe tutta energia cinetica) come funzione di tre variabili: la velocità di traslazione della spira , l'intensità di corrente, la quantità di calore.

K(totale)=f(|v_t|,|i|,Q)

(dipende dal modulo della velocità e dal modulo della corrente, non dai segni)


Abbiamo detto che il campo esterno non fa lavoro, e che non c'è una forza esterna che mantiene la spira a velocità di traslazione costante. Il sistema globalmente è isolato, quindi la quantità di calore non può diminuire, può solo aumentare o restare invariata.

Sai che |i| è aumentato, sai che Q non può diminuire... se vuoi mantenere K(totale) costante devi diminuire |v_t|.

Determinare esattamente questa f può essere complicato, però con alcune semplificazioni diventa fattibile.

Le semplificazioni:

-il conduttore è ohmico
-la spira ha una sezione trascurabile, quindi è approssimabile con una linea chiusa geometrica, di spessore infinitesimo (questo ti permette di vedere facilmente come sarà diretta la velocità degli elettroni in ogni punto del circuito)
-la spira ha una geometria semplice, tipo quella della spira quadrata del tuo esempio.

Per ricavare quest'espressione è meglio dedicare un altro post, ma per ora credo si capisca già come fa un campo magnetico, che non può fare lavoro, a indurre una corrente nella spira.... grazie alle forze interne della struttura della spira!

Vedo che per stamani ho parecchia carne al fuoco... mi ritiro per deliberare

Grazie, rargh. Adesso credo di essere definitivamente apposto su questo discorso per la forza di Lorentz.
Ho finito di leggere anche l'altro post e direi che abnche l'induzione sia diventata un po' più intuibile.

TADW_Elessar ha scritto:È molto più semplice:

La forza elettromotrice ha dimensioni Joule/Coulomb. Infatti si definisce come il lavoro compiuto per unità di carica, come ho scritto prima.

Un flusso di campo magnetico variabile induce un campo elettrico. Le cariche quindi si spostano (quelle negative contro il campo).

Queste cariche in movimento costituiscono una corrente, e su un filo percorso da corrente agisce una forza di origine magnetica.

Questa forza si oppone alla velocità v, quindi è necessario compiere lavoro per mantenerla costante.

OK, serve un lavoro
Però in questo punto mi sfuggiva ( adesso comunque chiarito) perchè quel lavoro non fosse fornito dalla forza di Lorentz e invece viene fornito dal motore che sposta la spira (era un punto in cui mi sono dovuto fermare nel leggere un precedente post di rargh)

Col senno di poi mi sembra banale.

Il problema che avevo, ora venuto a galla, è che consideravo la forza di Lorentz agente come una specie di forza elettrica per cui la reputavo causa di un qualche scambio di energia...

Il modello che offri mi sembra che non spieghi gli scambi energetici ( in prima approssimazione) sul singolo elettrone, ma è sicuramente migliore del precedente in un analisi macroscopica, e lo terrò in considerazione quando studierò i motori.



Almeno così mi sembra.

Io preferisco prendere con le pinze gli approcci classici (forza e accelerazione) su scala microscopica. Lì è quasi sempre necessario to go quantum per una descrizione accurata

Già, ma quando si parla di comportamento medio delle particelle la meccanica quantistica ti dovrebbe dare gli stessi valori della meccanica classica.