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Avevo intuito che era l'incentro e che in quel caso f(I)=abc ma mi mancava da dimostrare che, vettorialmente l'incentro è $ \displaystyle I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c} $. Mi potete aiutare?

E' la stessa idea della mia dimostrazione: prendo I il punto definito dalla tua relazione. Sia h l'altezza relativa al lato a (che è la distanza di A dal lato a), mentre ovviamente le distanze di B e C dal lato a sono 0. Per Talete, la distanza [con segno] da una retta data è invariante per affinità, perciò la distanza di I (combinazione baricentrica di A,B,C) è la combinazione baricentrica delle distanze di A,B,C.

EDIT: il pezzo in rosso è una grossolana stupidaggine, dovuta alla fretta. Me ne scuso. Il resto dell'enunciato resta vero. La cosa che mi serve veramente è che la proporzionalità delle distanze da un retta data venga mantenuta. E questa sì, che è invariante sotto affinità.

Perciò la distanza di I dal lato a è $ \frac{ah+b0+c0}{a+b+c}=\frac{ah}{a+b+c} $. Da qui si va avanti come nella mia soluzione: dista dal lato a tanto quanto è il raggio inscritto. Ma lo stesso vale per ambetré i lati, quindi I è l'incentro.

Ci mandi per cortesia anche il resto della tua sol? Grazie. M.

Visto che ci siete provate a dimostrare anche quest'altra:
ayz+bzx+cxy$ \geq $abc

karl ha scritto:Visto che ci siete provate a dimostrare anche quest'altra:
ayz+bzx+cxy$ \geq $abc

Non saprei, ci sono condizioni su a,b,c o x,y,z? Perchè se a+b+c<abc e x,y,z=1 non vale la disuguaglianza

EDIT: Capito, chiarito, compreso

Forse c'e' un malinteso ,dovuto probabilmente al fatto che
mi sono dimenticato di dire che a,b,c,x,y,z sono gli stessi
elementi che compaiono nel 2° mio quesito.