OliForum Matematico

C’hai ragione, Hitleuler… purtroppo ho la forte tendenza a perdere pezzi per strada… dovrei stare più attento… Cmq sei il primo calabrese con il quale parlo coscientemente: qua a Milano non ne vedo molti. Puoi considerarti il rappresentante di un’intera regione, contento?
Cmq non mi ricordo più perché ho cancellato il mio primo proof… Sarà stato il fumo che annebbia i ricordi, solo che non ricordo se era un momento di pazzia o di saggezza… boh! Nel dubbio mi esporrò al publico ludibrio riscrivendolo (il metodo sopra non pare modificabile sensatamente)… cosa non si fa per la conoscenza!

s((n+1)!)<=s(n!)*(n+1)+s(n!)=s(n!)*(n+2) e da qui la tesi segue facilmente

la formula per n+1 primo vale con l’uguaglianza e si verifica. Se n+1 non è primo cmq tutti i fattori sono calcolati almeno una volta, infatti se a/(n+1)! Ovverosia a/(n!)*(n+1) si verifica che o a/n! o a/(n+1) [contati!] oppure a=b*c con b/n! e c/n+1 ----
ecco ho capito cosa non mi funzionava: supponiamo che 3/(n+1) e 3^k/(n)! dove k è il max esponente per cui vale ciò e quindi 3^(k+1)/(n+1)!, ma 3^(k+1) è calcolato a destra solo come 3^k*(n+1) ed inoltre non posso utilizzare questo addendo che è già un divisore... ma la dis mi pare vera... ci penserò meglio!

Tra parentesi il ragionamento sopra porta a dire che la dis può valere per tutti gli n ma se non vale per un n=v, allora non vale nemmeno per i successivi. Il primo n per cui la dis non è verificata è 6....

Per il secondo, forse ho trovato un modo, ma pare troppo facile (considero solo n fattori...):

s(n!)> n! * S 1/i > n! ln(n+1)

confrontando la scaloide con l'integrale della funzione y=1/x (vedi anche in "Matematica non elementare" una delle dimo della divergenza della serie armonica)

Di ritorno dal mio soggiorno praghese (Quanti problemi postati! Finalmente!) posto la mia soluzione del 3.

HiTLeuLeR ha scritto: Problema #3: per ogni $ x, y \in\mathbb{N}_0 $: $ \sigma_1(xy) \leq \sigma_1(x)\sigma_1(y) $, ove sussiste l'uguaglianza sse $ \gcd(x,y) = 1 $.

Innanzitutto riportiamo alcuni fatti che saranno ritenuti veri senza essere dimostrati:

Fatto 1 Derivate seconde e convessità

Una funzione è convessa in $ \mathbb{R} $ se la sua derivata seconda esiste ed è positiva in tutto $ \mathbb{R} $

Fatto 2 Maggiorazione

Date due n-uple di reali $ (x_1,x_2,\dots,x_n) $ e $ (y_1,y_2,\dots, y_n) $ , con $ x_1\ge x_2\ge \dots\ge x_n $ e $ y_1\ge y_2\ge \dots\ge y_n $ si dice che $ (x_1,x_2,\dots,x_n)\succ (y_1,y_2,\dots, y_n) $ se
$ \sum_{i=1}^{k}x_1\ge \sum_{i=1}^{k} y_1 $ per ogni $ k\in \{1,2,3,\dots,n-1\} $ e
$ \sum_{i=1}^{n}x_i=\sum_{i=1}^{n}y_i $

Fatto 3 Disuguaglianza di Karamata
Prese due n-uple di reali tali che $ (x_1,x_2,\dots,x_n)\succ (y_1,y_2,\dots, y_n) $ e una funzione $ f(\cdot) $, convessa in $ \mathbb{R} $, avremo che:
$ \sum_{i=1}^{n}f(x_i)\ge \sum_{i=1}^{n}f(y_i) $
si ha l'uguaglianza se $ x_i=y_i $ per ogni $ i $

Ora un pò di lemmi

Lemma 1
La funzione $ f(x)=a^x $ con $ a\in \mathbb{N},a>1 $ è convessa in $ \mathbb{R} $

Dimostrazione
$ f'(x)=\ln(a)a^x $
$ f''(x)=(\ln(a))^2a^x $
che è sempre positivo

Lemma 2
Sia $ p $ un primo naturale e siano $ a,b $ due naturali, allora $ \sigma(p^{a+b})\le \sigma(p^a)\sigma(p^b) $ e si ha l'uguaglianza se $ \min(a,b)=0 $

Dimostrazione
Prendiamo il nostro primo naturale $ p $ e i due naturali $ a,b $, poichè $ (a+b+1,1)\succ (a+1,b+1) $ avremo che
$ p^{a+b+1}+p\ge p^{a+1}+p^{b+1} $ (Karamata su $ f(x)=p^x) $)
$ -p^{a+b+1}-p\le -p^{a+1}-p^{b+1} $
$ p^{a+b+2}+1-p^{a+b+1}-p\le p^{a+b+2}+1-p^{a+1}-p^{b+1} $
$ (p^{a+b+1}-1)(p-1)\le (p^{a+1}-1)(p^{b+1}-1) $
$ \displaystyle \frac{(p^{a+b+1}-1)}{p-1}\le \frac{(p^{a+1}-1)}{p-1}\frac{(p^{b+1}-1)}{p-1} $
$ \sigma(p^{a+b})\le \sigma(p^a)\sigma(p^b) $
e l'ugugaglianza se $ \min(a,b)=0 $ (sempre per Karamata)

Si torna al problema iniziale

Ora poniamo $ x\ge y $
$ (x,y)=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\min(a_i,b_i)} $
$ x=\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\prod_{i=1}^{j}q_i^{a_{i+k} $
$ y=\prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i} $
con $ a_i,b_i\in \mathbb{N} $ e $ p_i, q_i \in \mathfrak{P} $
si noti che l'insieme dei $ q_i $ potrebbe anche essere vuoto, in tal caso la produttoria vale $ 1 $ e che $ p_i $ e $ q_i $ non possono avere elementi comuni


La disuguaglianza diviene
$ \sigma\left(\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i+b_i}\prod_{i=1}^{j}q_i^{a_{i+k}\right)\le \sigma\left( \prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\prod_{i=1}^{j}q_i^{a_{i+k}}\right)\sigma\left( \prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i}\right) $
$ \sigma\left(\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i+b_i}\right)\sigma \left(\prod_{i=1}^{j}q_i^{a_{i+k}\right) $$ \le \sigma\left( \prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\right)\sigma \left(\prod_{i=1}^{j}q_i^{a_{i+k}}\right)\sigma\left( \prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i}\right) $
$ \sigma\left(\prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i+b_i}\right)\le \sigma\left( \prod_{i=1}^{k}p_i^{a_i}\right)\sigma\left( \prod_{i=1}^{k}p_i^{b_i}\right) $
$ \prod_{i=1}^{k}\sigma(p_i^{a_i+b_i})\le \prod_{i=1}^{k}\sigma(p_i^{a_i})\sigma(p_i^{b_i}) $
che non è altro che il Lemma 2 moltiplicato tante volte membro a membro e, poichè, sui positivi, $ a>b $ e $ c\ge d $ implica $ ac>bd $ dovranno valere tutte le uguaglianze parziali, quindi, perchè valga l'uguaglianza $ \min(a_i,b_i)=0 $ per ogni $ i $ e quindi $ (x,y)=1 $

La tua dimostrazione è sostanzialmente corretta, Boll. D'altro canto, te l'avevo già vistata qualche sera fa "in diretta", vero? Sia come sia, le imprecisioni non mancano! In fondo, tu sei pur sempre tu... E chi altri, sennò?

Boll ha scritto:Lemma 1
La funzione $ f(x)=a^x $ con $ a\in \mathbb{N} $ è convessa in $ \mathbb{R} $

Dimostrazione: $ f'(x)=\ln(a)a^x $; $ f''(x)=(\ln(a))^2a^x $, che è sempre positivo

Ti ricordo, se mai te lo fossi scordato, che $ 0 $ ed $ 1 $ sono numeri naturali. Eppure $ \ln(0) $ non è un simbolo ben definito, e $ \ln(1) $ non mi pare che sia positivo... Visto anche il seguito, suppongo volessi intendere $ a > 1 $, nooo? CORREGGI!!!

Ora, Bollazzo... Per quanto io personalmente trovi interessante il tuo ricorso alla disuguaglianza di Karamata, permettimi almeno di sottolineare ch'esistono vie decisamente più volgari per risolvere lo stesso problema. D'altro canto, la via da seguire l'ho suggerita io stesso discutendo, tempo fa, con Poliwhirl di un'analoga questione relativa alla funzione $ \sigma_0(\cdot) $. Dove? Beh, proprio qui! Ma veniamo a te, info caro... La faccio breve: leggere la tua soluzione mi è davvero faticoso, non chiedermene il perché! Piuttosto, consenti ch'io ti ponga una domanda: quand'è che ti convertirai alla filosofia LaTeX, uhmmm? Quantomeno potresti usare "|", anziché "/", per indicare che un certo intero ne divide un altro, nooo?

Beh... come avrai letto è incompleta... Cmq secondo te quella dis è vera??? Io ne sono convinto (altrimenti il segno di dis dovrebbe cambiare verso diverse volte)... Stavo provando a dimostrarla "contando" i termini considerati 2 volte e quelli non considerati... Quelli considerati 2 volte hanno somma (n+1) * s(n!/n+1), per gli altri ancora nun sò...
Per quanto riguarda i tasti, dovrò cercare qul simbolino sulla tastiera | wow! l'ho trovato |||||||||||||||... contento??
Per quanto riguarda la filosofia Latex, ho già avuto i miei problemi con quella buddista, non crearmene altri, eh!

info ha scritto:Beh... come avrai letto è incompleta... [...]

No, ti sbagli! Che infatti non ho alcuna intenzione di leggerla, fintanto che non sia completa!!!

Aiuto! La dis sopra è vera talvolta, falsa altre!

s(7!)=19344
s(8!)=159120

s(8!)>=s(7!)*9

159120>=174096----falsa! [tutto fatto da TP4]

questo vuol dire che il procedimento sopra è errato! Ora non capisco: di solito HitlEuler posta gli esercizi in ordine di difficoltà... ergo il primo dovrebbe essere più facile del seconda, ma non mi pare vero stavolta!!!!! Forse sbaglio approccio...

info ha scritto:[...] Ora non capisco: di solito HitlEuler posta gli esercizi in ordine di difficoltà... ergo il primo dovrebbe essere più facile del seconda, ma non mi pare vero stavolta!!!!! Forse sbaglio approccio...

Quel tuo "di solito" sottende l'esistenza di regole che nel mondo di Veronika proprio non si possono patire. Cambia approccio, va'!!! E sappi - sebbene a questo punto dovrebbe essere chiaro un poco a tutti - che il problema #1 è *molto* difficile. Temo tu e qualch'altro l'abbiate sottovalutato non poco...

Qualcuno mi può provare al PC se questa [che deriva da una maggiorazione di s(n)] è vera? Almeno provate per i primi 10 n... Non sò, TP4 con i grandi numeri non mi dà affidamento ed a scuola non mi hanno insegnato altro

S [ k=1-->[rad(n!)] ] (k+n!/k) <= (n+1)!/2

dove [] è la parte intera e S[] () è il simbolo di sommatoria... ho provato a dimostrarla matematicamente maggiorandola ma non ci sono riuscito. Probabilmente è falsa come l'altra...

Certo Hitleuler che potevi dirlo prima che non perdevo tempo prezioso... Ho da studiare io, cosa credi! Mica posso trastullarmi al mare come qualcuno... (anche perchè l'idroscalo non è certo la stessa cosa! )

info ha scritto:Qualcuno mi può provare al PC se questa [che deriva da una maggiorazione di s(n)] è vera?

S [ k=1-->[rad(n!)] ] (k+n!/k) <= (n+1)!/2

dove [] è la parte intera e S[] () è il simbolo di sommatoria...

Ma in che modo mai potrebbe essere vera, info, quella tua roba lì? Inizio a pensare che dovresti smetterla di fumarti il sedano con lo zenzero. Che infatti, per ogni intero $ n \geq 1 $: $ \displaystyle\sum_{k=1}^{\lfloor \sqrt{n!}\rfloor} \left(k + \frac{n!}{k}\right) \geq 1 + n! $.

boh... era una maggiorazione che avevo buttato lì in mezzo allo studio matto e disperatisssimo di materie letterarie, non farmene una colpa troppo grossa...

solo che non capisco come la tua tesi possa essere utile: io con la AM-GM ho dimostrato che quella sommatoria è >= di 2*[rad(n!)]*rad(n!), che è una tesi più forte della tua,ma nondimeno per essere utile dovrebbe essere:

2[rad(n!)]*rad(n!) > (almeno per n>1) > n! >= (n+1)!/2 --> 1>=(n+1)/2-->falsa per svariati n...

info ha scritto:[...] solo che non capisco come la tua tesi possa essere utile: io con la AM-GM ho dimostrato che quella sommatoria è >= di 2*[rad(n!)]*rad(n!), che è una tesi più forte della tua [...]

Siccome sono piuttosto tonterello, mi spieghi chiaramente a quale sommatoria ti stai riferendo? E la tesi di cui parli, poi? Si tratta del problema n° 1 o del n° 2 ?!? Dio mio, un po' di chiarezza... Del resto, mi si scusi il francesismo, ma chi viene da fuori e legge certi post, secondo me non ci capisce proprio un c***o... Ok, le mie notazioni saranno pure oscure, come mi è stato detto da più parti! Ma vi inviterei a considerare che più spesso i testi sono incomprensibili per via di ragioni ben più preoccupanti... E tu non te la prendere, info: non ce l'ho con te, semplicemente mi hai offerto l'occasione per mettere un paio di puntini sulle i... Anzi ti ringrazio, sai?

info ha scritto:[...] ma nondimeno per essere utile dovrebbe essere: 2[rad(n!)]*rad(n!) > (almeno per n>1) > n! >= (n+1)!/2 --> 1>=(n+1)/2-->falsa per svariati n...

Guarda, non so che ti sia preso ultimamente... Stai dando i numeri, per caso, info? Siccome $ n! $ non è mai un quadrato perfetto, se $ n $ è un intero $ > 1 $, allora (nelle stesse ipotesi): $ 2\cdot \lfloor \sqrt{n!}\rfloor \cdot \sqrt{{n!}} = 2(\sqrt{n!} - 1)\sqrt{n!} = 2n! - 2\sqrt{n!} > n! $ sse $ n! > 2 \sqrt{n!} $, il che (di certo) è definitivamente vero... Ma quindi?

EDIT: qualche problemino con le formule LaTeX. Adesso dovrebbe andare meglio...