OliForum Matematico

hexen ha scritto:??

Ciau hexen,
se hai un dubbio su quello che ho scritto ti prego di formulare una domanda: comprenderai che 2 punti interrogativi non mi permettono di aiutarti.

si mi rendo conto chiedo scusa...

volevo sapere perché erano quelle cose che avevo quotato

hai "antiderivato" membro a membro questa

$ f'(x)\geq \frac{f(1)} x $

e aggiunto ai 2 membro f(1) ??

"antiderivando" sarebbe venuto f(x)>= f(1)log x, nn riesco a capire perché aggiungere e sottrarre f(1) e perché hai scritto f(x) uguale qualcosa e poi >= di qualcosa....

avendo f(x)>= f(1)log x non basta a dimostrare la tesi?

MindFlyer ha scritto:Per continuità di $ f(x) $, e dato che $ f(0)=0 $, è necessario e sufficiente dimostrare che $ f(x) $ diverge.

Pardon, non è necessario ma solo sufficiente.

hexen ha scritto:volevo sapere perché erano quelle cose che avevo quotato
hai "antiderivato" membro a membro questa
$ f'(x)\geq \frac{f(1)} x $
e aggiunto ai 2 membro f(1) ??
"antiderivando" sarebbe venuto f(x)>= f(1)log x, nn riesco a capire perché aggiungere e sottrarre f(1) e perché hai scritto f(x) uguale qualcosa e poi >= di qualcosa....

Con "antiderivare" vuoi forse dire "integrare"...
Mi sono permesso di dare per scontato il Teorema fondamentale del Calcolo, vista la leggerezza con cui si maneggiavano disequazioni differenziali e primitive di funzioni.
Il Teorema fondamentale del Calcolo che ho usato lo puoi trovare enunciato a QUESTA PAGINA, oltre che in ogni libro di Matematica di 5^ Liceo, ed in qualunque corso di Analisi 1. Nota che l'intervallo di cui si parla nell'enunciato è aperto, e nel nostro caso si può prendere per esempio $ (0,+\infty) $. Il fatto di assumere $ x\geq 1 $ mi serve solo per la disuguaglianza.
Per il Teorema sappiamo quindi che l'integrale da $ 1 $ a $ x $ della derivata di $ f $ è una sua primitiva, ovvero coincide con $ f $ a meno di una costante additiva. Ora, siccome l'integrale vale $ 0 $ per $ x=1 $, questa costante non è altro che $ f(1) $. Ed ecco spiegata la prima uguaglianza.
Per la disuguaglianza ho usato il fatto che se $ f $ e $ g $ sono continue su $ [a,b] $ e $ f(x)\geq g(x) $ per ogni $ x $ compreso tra $ a $ e $ b $, allora $ \int_a^b f(x)dx \geq \int_a^b g(x)dx $.
Infine, nell'ultima uguaglianza ho semplicemente svolto l'integrale.

elianto84 ha scritto:La condizione (x>1) mi inquieta.
Se prendiamo una funzione che è un retta per x>=1
e la raccordiamo in qualche modo possiamo benissimo ottenere
un qualcosa da [0..+inf) a [0..+inf) NON surgettivo.

D'altro canto, se ritrattiamo (x>1) e la sostituiamo con (x>0)
il problema diventa banale, dato che i punti stazionari della f
(f'(x)=0) non hanno molti posti dove collocarsi (punto stazionario
implica (immagine 0) ma se ci fossero due punti stazionari
a (immagine 0) ce ne sarebbe un terzo nel mezzo a immagine
diversa da 0, assurdo). Segue facilmente la monotonia della f
e subito dopo la crescenza.

scusa, jack, ma la condizione (1) impone che f(x)>=0 e dunque f(1)>=0; del resto, per x>1, f è surgettiva su [f(1),+inf[ per la cond (1) e del resto, f(0)=0, quindi per k tra 0 e f(1) esiste y tra 0 e 1 t.c. f(y)=k...

Ora, per dare una soluzione "diversa", possiamo osservare che:

$ 0<f(x)\leq xf'(x) \Leftrightarrow x\geq f(x)/f'(x) \Rightarrow \log f(x)\geq\log Cx $

per un qualche C reale (positivo).

quindi, per x>1, f(x)>Cx e dunque f è surgettiva sui reali positivi.

quindi il ragionamento è

$ f'(x) \geq \frac{f(1)}{x} $ (conseguenza delle ipotesi)

integrando membro a membro
$ \int_1^x f'(t)dt \geq f(1)\int_1^x \frac{dt} t $
quindi
$ f(x)-f(1) \geq f(1)\log x $

la nostra f(x) è quindi sempre maggiore o uguale a f(1)(1+logx) che diverge, quindi f(x) assume tutti i valori positivi

Esattamente.
E il procedimento di Evaristo segue un criterio simile.