Inviato: 08 ott 2005, 20:37
Ti faccio un paio di esempi.
Prendiamo $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $, $ f(n)=n+3 $.
Vediamo se è iniettiva:
$ f(n_1)=f(n_2) $
$ n_1+3=n_2+3 $
$ n_1=n_2 $
Si, è iniettiva. Vedi che partendo da $ f(n_1)=f(n_2) $ ho ottenuto $ n_1=n_2 $ senza imporre condizioni particolari su $ n_1 $ o $ n_2 $. Ciò significa che quello che ho provato vale per ogni coppia $ (n_1,n_2)\in\mathbb{N}^2 $.
Vediamo se è suriettiva:
$ f(n)=m $
$ n+3=m $
$ n=m-3 $
Significa che affinché $ f(n)=m $ basta scegliere $ n=m-3 $. Ma questo significa che l'equazione $ f(n)=m $ non ha soluzioni per ogni m. Infatti se scelgo $ m=1 $ ottengo come unica scelta di n il valore $ 1-3=-2 $, ma -2 non appartiene al dominio, che è $ \mathbb{N} $. Quindi f non è suriettiva.
Un altro esempio: la funzione $ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, $ f(x)=x^2-1 $.
Iniettività: $ x_1^2-1=x_2^2-1 $, $ x_1^2=x_2^2 $, ora è evidente che se $ x_1=x_2 $ la cosa è vera. Ma posso scegliere anche $ 1=x_1=-x_2 $, e otterrei comunque $ 1^2=(-1)^2 $, cioè $ 1=1 $. Quindi la g non è iniettiva.
Suriettività: $ x^2-1=y $, $ x^2=y+1 $. Devo risolvere questa equazione in x. È chiaro che non posso scegliere una qualunque $ y\in\mathbb{R} $, infatti non appena $ y<-1 $ ottengo per $ x^2 $ un valore negativo, il che è impossibile (i.e. non esiste nessun $ x \in \mathbb{R} $ tale che $ x^2 <0 $). Quindi l'equazione $ g(x)=y $ non ammette soluzioni per tutti gli $ y\in\mathbb{R} $. Quindi g non è suriettiva.
La funzione $ sin:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, $ x \mapsto sin(x) $ non è iniettiva. Infatti scelto un valore raggiunto (che appartiene all'immagine), per esempio 1, ci sono infiniti numeri reali mappati in esso: $ sin(\frac{\pi}{2}+2k\pi)=1 $ per ogni $ k\in\mathbb{Z} $. Inoltre non è suriettiva, infatti per esempio l'equazione $ sin(x)=2 $ non ammette nessuna soluzione.
Però per esempio la funzione $ g:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1] $, $ g(x)=sin(x) $ è una biiezione, cioè è sia iniettiva che suriettiva.
Un altro esempio: diciamo che A è l'insieme delle coppie $ (a,b) $ dove a e b sono numeri naturali compresi tra 1 e 6 (una tale coppia può rappresentare il doppio lancio di un dado), e B è l'insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Inoltre definisco la funzione $ f:A \to B $, $ f((a,b))=a+b $. Quindi è come lanciare un dado due volte e leggere la somma dei punteggi. La funzione f è ben definita, nel senso che $ f((a,b)) \in B $ per ogni $ (a,b) \in A $, e per vederlo basta calcolare f per tutti gli elementi di A, che sono in numero finito.
La funzione f è suriettiva, infatti:
$ f((1,1))=2 $, $ f((1,2))=3 $, $ f((2,2))=4 $, $ f((2,3))=5 $, $ f((3,3))=6 $, $ f((3,4))=7 $, $ f((4,4))=8 $, $ f((4,5))=9 $, $ f((5,5))=10 $, $ f((5,6))=11 $, $ f((6,6))=12 $.
Ovvero, scegliendo comunque un elemento di B, che è il codominio, trovo una coppia (elemento di A) tale che f lo mappi nell'elemento di B scelto.
Ma la funzione f non è iniettiva, infatti $ f((3,4))=f((5,2))=7 $.
Ciao
Prendiamo $ f:\mathbb{N}\to\mathbb{N} $, $ f(n)=n+3 $.
Vediamo se è iniettiva:
$ f(n_1)=f(n_2) $
$ n_1+3=n_2+3 $
$ n_1=n_2 $
Si, è iniettiva. Vedi che partendo da $ f(n_1)=f(n_2) $ ho ottenuto $ n_1=n_2 $ senza imporre condizioni particolari su $ n_1 $ o $ n_2 $. Ciò significa che quello che ho provato vale per ogni coppia $ (n_1,n_2)\in\mathbb{N}^2 $.
Vediamo se è suriettiva:
$ f(n)=m $
$ n+3=m $
$ n=m-3 $
Significa che affinché $ f(n)=m $ basta scegliere $ n=m-3 $. Ma questo significa che l'equazione $ f(n)=m $ non ha soluzioni per ogni m. Infatti se scelgo $ m=1 $ ottengo come unica scelta di n il valore $ 1-3=-2 $, ma -2 non appartiene al dominio, che è $ \mathbb{N} $. Quindi f non è suriettiva.
Un altro esempio: la funzione $ g:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, $ f(x)=x^2-1 $.
Iniettività: $ x_1^2-1=x_2^2-1 $, $ x_1^2=x_2^2 $, ora è evidente che se $ x_1=x_2 $ la cosa è vera. Ma posso scegliere anche $ 1=x_1=-x_2 $, e otterrei comunque $ 1^2=(-1)^2 $, cioè $ 1=1 $. Quindi la g non è iniettiva.
Suriettività: $ x^2-1=y $, $ x^2=y+1 $. Devo risolvere questa equazione in x. È chiaro che non posso scegliere una qualunque $ y\in\mathbb{R} $, infatti non appena $ y<-1 $ ottengo per $ x^2 $ un valore negativo, il che è impossibile (i.e. non esiste nessun $ x \in \mathbb{R} $ tale che $ x^2 <0 $). Quindi l'equazione $ g(x)=y $ non ammette soluzioni per tutti gli $ y\in\mathbb{R} $. Quindi g non è suriettiva.
La funzione $ sin:\mathbb{R}\to\mathbb{R} $, $ x \mapsto sin(x) $ non è iniettiva. Infatti scelto un valore raggiunto (che appartiene all'immagine), per esempio 1, ci sono infiniti numeri reali mappati in esso: $ sin(\frac{\pi}{2}+2k\pi)=1 $ per ogni $ k\in\mathbb{Z} $. Inoltre non è suriettiva, infatti per esempio l'equazione $ sin(x)=2 $ non ammette nessuna soluzione.
Però per esempio la funzione $ g:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to[-1,1] $, $ g(x)=sin(x) $ è una biiezione, cioè è sia iniettiva che suriettiva.
Un altro esempio: diciamo che A è l'insieme delle coppie $ (a,b) $ dove a e b sono numeri naturali compresi tra 1 e 6 (una tale coppia può rappresentare il doppio lancio di un dado), e B è l'insieme {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Inoltre definisco la funzione $ f:A \to B $, $ f((a,b))=a+b $. Quindi è come lanciare un dado due volte e leggere la somma dei punteggi. La funzione f è ben definita, nel senso che $ f((a,b)) \in B $ per ogni $ (a,b) \in A $, e per vederlo basta calcolare f per tutti gli elementi di A, che sono in numero finito.
La funzione f è suriettiva, infatti:
$ f((1,1))=2 $, $ f((1,2))=3 $, $ f((2,2))=4 $, $ f((2,3))=5 $, $ f((3,3))=6 $, $ f((3,4))=7 $, $ f((4,4))=8 $, $ f((4,5))=9 $, $ f((5,5))=10 $, $ f((5,6))=11 $, $ f((6,6))=12 $.
Ovvero, scegliendo comunque un elemento di B, che è il codominio, trovo una coppia (elemento di A) tale che f lo mappi nell'elemento di B scelto.
Ma la funzione f non è iniettiva, infatti $ f((3,4))=f((5,2))=7 $.
Ciao
