en passant (for beginners)

[ma_go]

homopatavinus, per definizione, una funzione è derivabile se esiste il limite del rapporto incrementale (con un estremo fisso in quel punto).
la mia domanda era se si potessero impunemente "scambiare i limiti" †, e, se sì, sotto quali ipotesi.

† non è un vero e proprio scambio di limiti, ma poco ci manca...

[Nonno Bassotto]

non sono convinto, cmq... suppongo che i limiti delle derivate siano 0 e che f(0)=0. Poi gli altri casi si faranno analogamente. Prendo un h piccolo a piacere. in [0,h] le ipotesi del teorema del valor medio sono verificate, quindi

$ |f(h)|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)|*h $

e quindi

$ |f(h)/h|<= \sup_{x \in (0,h)} |f'(x)| $

ma quest'ultimo tende a 0 per h che tende a 0 per ipotesi. da cui la derivata in 0 esiste ed è nulla.

Sì, questo è più o meno quello che intendevo. Mi sembra più semplice che la prima dimsotrazione che hai postato. Diventa ancora un pochino più semplice applicando Lagrange nella forma uguaglianza piuttosto che disuguaglianza.

$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(y) $
per qualche y tra x e x+h e poi passi al limite.
Ciao

[NM]

Sì, questo è più o meno quello che intendevo. Mi sembra più semplice che la prima dimsotrazione che hai postato. Diventa ancora un pochino più semplice applicando Lagrange nella forma uguaglianza piuttosto che disuguaglianza.

$ \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(y) $
per qualche y tra x e x+h e poi passi al limite.
Ciao

Guarda è questione di gusti, credo...
forse l'inizio dell'altra dimostrazione non è semplice, ma nel seguito ho stimato un integrale con il valore dell'intervallo moltiplicato per il massimo, disuguaglianza (per me) molto più semplice di un valor medio, anche se alla fine non cambia un fico secco (letteralmente visto che i due metodi sono equivalenti)...

va bè... non è il caso di dilungarsi oltre... grazie ed alla prox