OliForum Matematico

Prendi $ S = \{1,2, \dots , n\} $

Allora $ A(S) = \displaystyle \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2} $
$ G(S) = \displaystyle \sqrt[n]n! $

E dal momento che sai che $ A(S) \ge G(S) $, concludi facilmente.. C'è ovviamente la disuguaglianza stretta in questo caso

Cmq mi pare ci sia un teorema che stabilisce che $ \displaystyle \sqrt[a]b $ o è intero o é irrazionale, e da li si conclude immediatamente

ant.py ha scritto: e da li si conclude immediatamente

allora io ho dimostrato :
$ AM=GM quando $
$ n_1= n_" =...= n $
perciò essendo valida solo per n=1 poiché $ n+1/2 = \sqrt[n]{n!} $ solo quando n=1 per n>1 AM diversa da GM (non ho dimostrato il maggiore).
Perciò mio sono buttato sull'analisi.

$ f(x)=n+1/2 g(x) =\sqrt[n]{n!} $

f(2) > g(2) essendo monotone(?)crescenti allora la condizione sarà sempre valida!!!

Allora, la disuguaglianza fra medie non va dimostrata (è un risultato ben noto e la dimostrazione puo essere complicata per più di 3 termini)

L'approccio analitico in generale é un suicidio.. Cmq se non mi sbaglio non basta dimostrare che sono montone crescenti entrambe perchè, per esempio, g(x) puo crescere più velocemente di f(x).. Dovresti prendere la funzione

F(x) = f(x) -g(x) e dimostrare che F(x) é sempre maggiore di zero, però non vedo l'utilita di questo approccio..

Ps aggiusta un po' il latex

mmmh...hai ragione!! cavolo non ci avevo pensato...comunque si in effetti hai ragione ma come posso dimostrare che quella funzione è maggiore di zero?? tipo quando faccio uno studio di funzione e eseguo la diseguaglianza???

Ps:in quanto ai risultati ben noti ho bisogno di studiarli meglio perché a volte qui si danno per contate delle cose del tipo AM > GM che io non so e le dimostrazioni fanno paura.

Robertopphneimer ha scritto:mmmh...hai ragione!! cavolo non ci avevo pensato...comunque si in effetti hai ragione ma come posso dimostrare che quella funzione è maggiore di zero?? tipo quando faccio uno studio di funzione e eseguo la diseguaglianza???

Ps:in quanto ai risultati ben noti ho bisogno di studiarli meglio perché a volte qui si danno per contate delle cose del tipo AM > GM che io non so e le dimostrazioni fanno paura.

Più o meno.. Ma poi diventa un problema di analisi e non più di TdN.. Cmq per le disuguaglianze fra media ecco una buona dispensa: http://olimpiadi.sns.it/downloads/ind-dis.pdf

[quote nome="ant.py"]

Più o meno.. Ma poi diventa un problema di analisi e non più di TdN.. Cmq per le disuguaglianze fra media ecco una buona dispensa: [/quote]
Noooooo mi hai salvato la vita!! dando una rapida occhiata qua c'è quasi tutto ciò che mi serve..perché io cado nelle successioni n-multiple..ed ora sto scoprendo i metodo d'induzione...carino!! potrebbe servirmi molto nelle n dimostrazioni..ora manca geometria e statistica!! :S

Una cosa..non caèpisco la formula della convessità della funzione...io ho sempre saputo che $ f'(x_0)> f(x_0) $