OliForum Matematico

Fino alla seconda riga del passo 2 ci sono.
Ma poi cominci a parlare di addendi, saltando completamente il nesso con il problema. Da dove vengono fuori questi addendi? Potresti spiegare un po' come funziona la tua algebrizzazione del problema, non ci capisco niente!

Ops, si infatti, adesso spiego meglio...

Se tu immagini di far fare ad Eulero n passi partendo dall'origine (che è il vertice C) ogni volta verso un vertice, avvicinandosi di 1/10, ti viene che, detto f(x) il vertice verso cui eulero dirige l'(x+1)-esimo passo, il punto di arrivo di Eulero è $ \sum_{i=0}^{n} \frac{9^{n-i}10^i}{10^{n+1}} $ ok? Ci sarebbe anche un termine iniziale che non considero perché è moltiplicato per il punto di partenza, cioè C=0. Da questo segue l'algebrizzazione. Questo deriva dal fatto che, dati due numeri complessi distinti $ z $ e $ u $, distanti $ d $ fra loro, il punto che dista $ \frac{d}{10} $ da $ z $ e $ \frac{9d}{10} $ da $ u $ è dato dalla somma $ \frac{9z+u}{10} $

Chiaro ora?

Ok, ok, ho capito e sistemando qualche particolare funziona!

Comunque metto anche la mia soluzione che sfrutta la tecnica "working backwards".

Sia h l'altezza del triangolo, A,B,C i vertici, F il fiore.

Lemma: sia P un punto all'interno del triangolo. Allora esiste un vertice che dista da P meno di $ ~ \frac 9 {10} h $. È abbastanza ovvio, poichè il centro del triangolo dista da ciascun vertice $ ~ \frac 23 h $, che è il massimo.

Ora, sia $ ~ C_1,\ldots,C_n $ una successione di cerchi definita in questo modo:
- $ ~ C_1 $ è centrato sul fiore e ha un raggio di 10cm
- $ ~ C_{n+1} $ è ottenuto da $ ~ C_n $ con un'omotetia di centro $ \frac{10}9 $, centrata dal vertice che ha distanza minima dal centro di $ ~ C_n $.

È di immediata verifica per induzione che:
- ciascuno di questi cerchi ha il centro interno al triangolo
- da ciascuno di questi cerchi posso andare a una distanza trascurabile da F in un numero finito di passi.
- il raggio di ciascun cerchio è $ ~ \frac {10}9 $ di quello precedente.

Quindi, per un certo n, il cerchio $ ~ C_n $ sarà abbastanza grande da ricoprire tutto il triangolo. A partire da questo cerchio, il giardiniere Eulero andrà ad innaffiare il suo fiore con grazia e precizione.