OliForum Matematico

Boll ha scritto:... Come noto (immagino abbia ragioni profondissime comunque è straintuitivo e basta fare il disegno per capirlo) una funzione concava ha un massimo locale in un intervallo o in uno dei due estremi o nel punto in cui si annulla la derivata prima (se tale punto sta nell'intervallo).

$ $y=-|x|$ $.

concava e $ ~C^1 $ (continua con derivata continua)
Pignolo!

SkZ ha scritto:concava e $ ~C^1 $ (continua con derivata continua)
Pignolo!

non per essere pignolo ma $ ~C^1 $ dove?

considero$ f $ così definita in [-1,1]:

$ y=-x^2 $ per x diverso da $ -1 $
$ y=-57 $ per $ x=-1 $

O in uno dei due estremi O dove si annulla la derivata prima.
Nel particolare, questa ha massimo locale dove si annulla la derivata prima.

@Evariste

non ho capito, ma a che ti riferisci?
ma una concava come può avere massimi agli estremi?

con la mia funzione avevo voluto far notare a SkZ che le ipotesi minimali sono:

f concava in[a,b] continua in(a,b) (non mi seve in [a,b]! nè tantomeno derivabilità e continuità della derivata) allora ho massimo:


1) o nel punto in cui si annulla la derivata
2)o nei punti di non derivabilità
3)o agli estremi dell'intervallo

Tengo a sottolineare che i tre punti valgono in ogni caso, e che quindi le ipotesi di concavità e/o convessità non agevolano particolarmente la ricerca del max e del min in un intervallo chiuso e limitato.

Beh, innanzitutto potevi dire tutto ciò nel primo messaggio, invece di limitarti a postare una funzione non C^1 come controesempio all'affermazione di Boll. Inoltre, come SkZ notava, nel nostro caso era sufficiente notare che la funzione è C^1; inoltre, come vedi, indebolendo le ipotesi come hai fatto tu, hai dovuto anche indebolire la tesi, dovendo ammettere che i punti di massimo potessero anche essere nelle discontinuità della derivata.
Infine, di solito, quando si dice "derivabile con derivata continua", si intende sempre sull'intervallo aperto, se non si specifica altrimenti, in quanto negli estremi si avrebbe solo una derivata destra o sinistra.
In quanto a come faccia una funzione convessa o concava ad avere estremali agli estremi, ti consiglio di ricordare che le funzioni lineari sono concave e convesse.

beh... credevo che le ipotesi di Boll non fossero complete, così come la continuità agli estremi e derivabilità mi sembrava inutile tutto quì. cosa ho detto di male?

la tesi è "indebolita" ma credevo fosse più completa, quando si parla di convessità di solito(sbaglio forse, nel caso contrario devo correggere concava con strett. concava) se non specificato si tratta di stretta convessità e in tale situazione credo tuttora che sia inutile controllare gli estremi, e poi nel nostro caso non aveavamo funzioni lineari. Sbaglio?

Visto che l'esempio è istruttivo e il dubbio è legittimo, pensa un po' al logaritmo.
E' concavo, ma non ha massimi nè minimi. Quindi su un intervallo chiuso [a,b] i suo massimi e minimi stanno sugli estremi dell'intervallo.

ok su questo sono pienamente d'accordo! e quindi correggo aggiungendo che si devono valutare anche gli estremi(non so perchè ma avevo preso sempre in considerazioni funzioni
che assumesero valori uguali di f(x) in due punti. scusa!). Per il resto credo sia corretto quanto ho scritto e ti ringrazio per questa utilissima osservazione che in realtà può essere estesa non solo ai logaritmi ma a tutte le funzioni concave o convesse in un intervallo in cui siano strettamente monotone.

Senza disturbare l’analisi, io ho risolto il problema così:
Posto $ x=ky $(la limitazione diventa $ 1 \le k \le 2 $ ), la disuguaglianza diventa $ y^2(-k^2+3k-2) \le Cky^2 $ , da cui si ricava $ C \ge 3-(k+ \frac 2 k) $; quando la parentesi raggiunge il suo minimo, il secondo membro ha il massimo valore possibile ed in corrispondenza si ha la migliore C. Poiché la somma di due numeri positivi con prodotto costante è minima se i due numeri sono uguali, la soluzione è data da $ k=\sqrt 2 $ , da cui $ C=3-2 \sqrt 2 $.
La risposta soddisfa le limitazioni, che si rivelano fin troppo restrittive; per la validità del precedente ragionamento è sufficiente che x, y siano due numeri con lo stesso segno (zero escluso).