OliForum Matematico

Beh, è ovvio che al PreIMO, la formulazione non tirava in ballo metriche, completamenti e successioni convergenti; suonava più o meno così:

Definiamo superintero una sequenza di cifre decimali illimtate a sinistra. Ad esempio:

...654321

Il prodotto di due superinteri è definito dalla regola che le ultime k cifre di un prodotto di due superinteri sono date dalle ultime k cifre del prodotto delle ultime k cifre dei fattori.

Si dimostri che esistono due superinteri con le cifre non tutte nulle, il cui prodotto è 0.
-------
Per la tua seconda soluzione, non è vero che non mi è piaciuta, anzi è un ottimo esercizio per verificare tutta una serie di nozioni sui completamenti, come probabilmente avrai visto svolgendo.

In questo caso, però, alla fin fine diventa un esercizio di chiamare cose facili in modo difficile.

Ad esempio, le sottosuccessioni convergenti di [multipli di] potenze di 2 [o 5], è un modo complicato di dire il fatto (perfettamente elementare e "olimpico") che puoi costruire una sequenza di [multipli di] potenze di 2 semplicemente anteponendo le cifre giuste.

Es.:
2
32
33554432 [=$ 2^{25} $]
ecc...

Cosa che si poteva fare anche più facilmente con l'algoritmo:
Al passo 1 scrivi "2"
al passo $ i $ anteponi "1" se il numero precedente non è divisibile per $ 2^i $, altrimenti anteponi "0".

La sequenza che costruisci è

2
12
112
0112
10112
010112
0010112
10010112
...

e non è difficile vedere che il termine con $ i $ cifre è divisibile per $ 2^i $. Analogamente puoi montare la sequenza

5
25
125
3125
03125
203125
...

Se poi hai l'accortezza di scegliere la cifra iniziale in modo astuto, puoi trovare i due divisori di 0 della mia terza soluzione. Ad esempio, trovare $ (1,0) \in \mathbf Z_5 \times \mathbf Z_2 $ vuol dire trovare, per ogni k, un numero $ a_k $ che sia
$ a_k \equiv 1 \pmod{5^k} $, $ a_k \equiv 0 \pmod{2^k} $.
Questa è, di nuovo, un'applicazione standard di T.C.R., che, risolta dà:

(1,0) = ...87109376
(0,1) = ...12890625

------

Ok. Ora un po' di folklore con il prossimo esercizio.

Dimostrare che 1/7 è intero. Trovare la sua espansione come intero di Polibio. Generalizzare a tutti i razionali "interi".

Forse è meglio chiamarlo $ 7^{-1} $ comunque si prende la successione degli inversi di $ 7 $ modulo $ 10, 100 ,1000 $ eccetera, che sono tali che le ultime cifre si conservano. Questa successione convergerà ad un numero di Polibio (infatti ha le ultime cifre sempre stabili)...che è l'inverso di $ 7 $ perchè, moltiplicato per $ 7 $ avrà, per induzione le ultime $ n $ cifre che, per qualsiasi $ n $ sono 0 a parte l'ultima che è $ 1 $. Perchè per dire delle cose così facili ci vuole così tanto tempo??? Uffi...

Comunque la serie di inversi è:
7*3 = 21
7*43=301
7*143=1001
7*7143=50001
7*57143=400001
7*857143=2000001
7*...857142857143 = 1

In generale se un numero è $ 0.pppp $ dove $ p $ è il periodo di r cifre allora chiamato $ P $ il numero $ 10^r- p -1 $ e $ R=P+1 $ allora il nuostro numero $ 0.ppppp ... = .... PPPPPR $

Questo poichè abbiamo che $ 0.ppppp = \frac p { 10^r-1} = p ( -1-10^r- 10^{2r} ... ) $= 0- ....pppppppp = ......9999999 - ....pppppp +1 = ...PPPPPR

Dove sfruttiamo il fatto che $ (10^r-1)(1+10^r+10^{2r} + .... ) =-1 $ o anche perchè $ 1+10^r + .... + 10^{nr-r} = \frac {10^{nr} -1}{10^r-1} $. Ma per $ n \to \infty $ abbiamo che $ 10^{nr} \to 0 $.

Comunque personalmente m'è piaciuta tanto la seconda sol di phi!! veramente phiga ale!!

Simo_the_wolf ha scritto:Forse è meglio chiamarlo $ 7^{-1} $

E' del tutto equivalente: ricordati che siamo partiti dai razionali e li abbiamo completati. Quindi 1/7 è un numero con tutti i crismi ed è proprio quell'"un settimo" che conosciamo da bambini. Solo che, se si completano i razionali come detto, risulta essere un intero...

Bene la tua sol. Faccio solo notare la serie geometrica di ragione $ 10^r $ che ti salta fuori:

Dove sfruttiamo il fatto che $ (10^r-1)(1+10^r+10^{2r} + .... ) =-1 $

risulta essere [assolutamente] convergente. Infatti si sa bene che il raggio di convergenza di tali serie è 1. E la ragione ($ 10^r $) è ben all'interno della palla unitaria...

Quindi ad esempio, con la ben nota formula delle serie geometriche, che resta perfettamente valida [dimostrazione nel post di StW]:

$ $ \dots 1111 = \sum_i 10^i = \frac{1}{1-10} = - \frac 1 9 $

In un certo senso, sorprendente...

Allora, un'altra bella dimostrazione di folklore:

I numeri di Polibio non possono essere ordinati in modo da rispettare l'algebra.

Dim.: Supponiamo di poter ordinare i numeri di Polibio. Allora:
$ 0 < 9 < 99 < 999 < \cdots < \dots 9999 = -1 < 0 $.
Assurdo. []

Qualcuno chiedeva un pagina fa a che serve tutto questo. Beh, innanzi tutto ad aumentare il p.i.l. di chi studia questa roba. Ma a parte quello, lo scopo principale è studiare le estensioni algebriche dei razionali.

Infatti quando la base $ p $ è un numero primo, $ \mathbf Q_p $ risulta essere un campo [di char 0: contiene $ \mathbf Q $]; $ \mathbf Z_p $ un dominio d'integrità (se non vado errato, euclideo, addirittura) che ha la ottima proprietà di avere un solo primo: $ p $.

Questo è buono, perché semplifica grandemente il casino che l'interazione tra diversi primi può causare e controlla che cosa sta succedendo in corrispondenza di uno stabilito ideale primo. Ad esempio: dire chi è la valutazione di un numero equivale esattamente a darne la sua scomposizione in fattori primi (!!).