2 = 1

[julio14]

Nei numeri complessi esistono due radici quadre per ogni numero: basta scegliere opportunatamente per ottenere i risultati che si vogliono. L'errore è più chiaro così:

i)$ 1=1 $

ii)$ \sqrt{1}=\sqrt{1} $

iii)$ 1=-1 $

senza dover neanche passare dai numeri complessi

[BMcKmas]

Nei numeri complessi esistono due radici quadre per ogni numero


........

senza dover neanche passare dai numeri complessi

Si tratta di una metadimostrazione contraddittoria?

[julio14]

Nei numeri complessi esistono due radici quadre per ogni numero


........

senza dover neanche passare dai numeri complessi

Si tratta di una metadimostrazione contraddittoria?

E' che in quella dimostrazione si usano i complessi perchè si usano le radici di $ -1 $, mentre usando solo le radici di $ 1 $ si ottiene lo stesso risultato in modo più chiaro. Cmq hai ragione non sono mai stato bravo a spiegarmi!!!

[piever]

Allora, ne' boll ne nicomatte hanno ancora risolto questo:

la superficie laterale di una sfera di raggio 1 e' $ 4\pi $

Ora, se noi poniamo $ f(x)=\sqrt{1-x^2} $ e integriamo per x che va da -1 a +1, otteniamo $ \frac{\pi}{2} $

Moltiplicando la nostra funzione per $ 2\pi $ associamo a ogni rettangolino la superficie laterale del cilindro che si ottiene ruotandolo attorno all'asse x, dunque l'integrale per x che va da -1 a +1 di $ 2\pi f(x) $ (che e' $ \pi ^2 $) e' la superficie laterale della sfera, quindi $ \pi ^2=4\pi $ e, semplificando, $ \pi =4 $

Onestamente neanch'io ho ancora trovato l'errore...

[pic88]

[Puro delirio]
Ammettiamo che la figura ottenuta sommando i cilindri "approssimi" la sfera (ad es il suo volume tende a quello della sfera); la sua superficie laterale non è semplicemente la somma delle superfici laterali dei cilindri... commettiamo un errore se calcoliamo la sup. laterale col metodo di piever... e nemmeno passando al limite riduciamo l'errore, o meglio l'ordine dell'errore rispetto all'ordine della larghezza degli intervalli scelti. Poi, il fatto che io parli di ordine senza sapere cosa sia rende il tutto abbastanza tragico, però... sarebbe come dire che la lunghezza dell'arco di circonferenza è uguale alla somma delle lunghezze degli intervalli, che è sempre 2, ciò proverebbe che $ \pi=2 $
[/Puro delirio]

[teppic]

Onestamente neanch'io ho ancora trovato l'errore...

Se affetti la sfera con piani paralleli, le fettine di superficie non assomigliano a cilindri, ma a tronchi di cono. Non si può nemmeno supporre che tagliando abbastanza fitto le circonferenze delle due basi siano quasi uguali, perché dipende dall'inclinazione della superficie della sfera rispetto ai piani che tagliano, e in particolare sui bordi i tronchi sono molto conici.

Per correggere bisogna dividere la funzione integranda per il seno dell'angolo che ha coseno x, ovvero $ \sqrt{1-x^2} $. Si ottiene:

$ \displaystyle \int_{-1}^1 2\pi dx = 4\pi $.

[MindFlyer]

E' concettualmente lo stesso paradosso che ho visto su uno dei Fibonacci di Conti, dove si cerca di approssimare la diagonale di un quadrato unitario con una successione di lati di quadrati rimpiccioliti, la cui somma è costantemente 1. E si conclude di nuovo che 2=1.

Per le superfici di rivoluzione, la formula giusta è questa:
http://mathworld.wolfram.com/SurfaceofRevolution.html
e si ricava facilmente come ha detto teppic, ovvero approssimando con tronchi di cono anziché con cilindri.

[pingu92]

v) $ \frac{1}{i}=\frac{i}{1} $

vi) $ 1=i^2 $

ciao sn un nuovo arrivato il + piccolo di tutti credo e molte cose non le capisco ma l'errore è ke la prima frazione elevata al quadrato dà -1 e non +1

[julio14]

v) $ \frac{1}{i}=\frac{i}{1} $

vi) $ 1=i^2 $

ciao sn un nuovo arrivato il + piccolo di tutti credo e molte cose non le capisco ma l'errore è ke la prima frazione elevata al quadrato dà -1 e non +1

Ben arrivato! comunque il passaggio tra il v e il vi non è l'elevazione al quadrato ma l'eleminazione dei denominatori infatti moltiplicando tutto per 1 e per i si ottiene $ 1^2=i^2 $