OliForum Matematico

edriv ha scritto:Rilancio: dimostrare che esiste un sottoinsieme denso, senza tre punti allineati, e di cartinalità del continuo.

uhm.. questo rilancio mi era sfuggito!
siccome non mi viene come formalizzare una costruzione esplicita (grr ), io userei... induzione transfinita!
tanto per levarmi i problemi di densità, esibisco prima un numerabile denso, tale però che la proiezione sulla prima coordinata sia quasi-iniettiva (nel senso che in ogni fibra ci siano al più due punti) (*): a questo punto, benenumero $ \mathbb{R} $ (mettendolo in bigezione con il cardinale $ \mathfrak{c} $ a lui equipotente) di modo che la numerazione ristretta ad $ \omega $ coincida con la numerazione dei razionali fatta.
a questo punto, il gioco è fatto: dato $ \alpha $ ordinale, e fissati al più due punti su $ \{x_\beta\}\times\mathbb{R} $ per ogni $ \beta\le\alpha $, scegliamo (al più) due punti su $ \{x_{\alpha+1}\}\times\mathbb{R} $ di modo che non appartengano a nessuna retta passante per i coppie di punti precedenti: possiamo sceglierne, perché la cardinalità delle coppie di punti già scelte (che è maggiore o uguale alla cardinalità dei punti di intersezione su $ \{x_{\alpha+1}\}\times\mathbb{R} $) è minore o uguale a $ |\alpha+1| < \mathfrak{c} = |\mathbb{R}| $.
adesso, per toglierci lo sfizio degli ordinali limite, facciamo esattamente la stessa costruzione, eliminando i punti che stanno sulle rette individuate dalla coppie di punti già scelti.
direi che questo ci assicura la vittoria...


(*) posso farlo, chiedendolo direttamente, passo per passo, nella costruzione fatta con le circonferenze concentriche, oppure modificando la stessa nel seguente modo: invece di prendere $ n $ punti, ne prendo $ p_n $, dove i $ p_n $ sono una successione crescente di primi, e fissando uno dei vertici del $ p_n $-agono regolare, precisamente quello che sta sulla semiretta che fa un angolo di $ 2\pi/p_n $ (in senso antiorario) col la semiretta $ x\ge0 $.
ruotando "di poco" la configurazione (sempre passo passo), si può anche ottenere l'iniettività della proiezione.

edriv ha scritto:Ok, effettivamente era una cavolata

Proviamo in questo modo: considero un'enumerazione $ ~ q_n $ dei punti a entrambe le coord. razionali che si trovano nel semipiano in basso. Allora faccio così:
- scelgo due punti a caso in alto, in modo che siano allineati con $ ~ q_0 $
- aggiungo $ ~ q_0 $
- prendo una delle rette a coord. razionali passanti per $ ~q_n $ e che non passa per nessuno dei punti già tracciati, prendo due punti su questa retta in modo che non stiano su nessuna delle rette già tracciate, che stiano nel semipiano in alto e che abbiano entrambe le coordinate razionali, aggiungo questi due punti e poi $ ~ q_n $
- ripeto l'ultimo passo per ogni n

secondo me non funzia perche si puo pensare ad esempio cosi' immaginiamo un quadratino vuoto cioe' senza punti fissato da qualche parte al primo passo e proviamo a seguire la regola di edrive senza mai prendere nessun punto di quel quadratino. ci riusciamo? perche' no! quindi l'insieme non viene denso perche' alla fine nel quadratino non c'e' propio niente eh!!!!!

ma perche' ci intestardiamo con questi punti razionali? non che io li sappia distinguere molto ma col problema cosa c'entrano?


cia' e'

Katerina89 ha scritto:
secondo me non funzia perche si puo pensare ad esempio cosi' immaginiamo un quadratino vuoto cioe' senza punti fissato da qualche parte al primo passo e proviamo a seguire la regola di edrive senza mai prendere nessun punto di quel quadratino. ci riusciamo? perche' no! quindi l'insieme non viene denso perche' alla fine nel quadratino non c'e' propio niente eh!!!!!

ma perche' ci intestardiamo con questi punti razionali? non che io li sappia distinguere molto ma col problema cosa c'entrano?


cia' e'

Kate, la mia risposta era al problema posto da Mind... io _volvevo_ dimostrare che l'insieme non viene denso!

@ Nonno Bassotto: direi che, a essere rigorosi, si vuole creare una nuova numerazione nel senso proprio del termine, bisognerebbe precisare che o ogni volta che si scelgono i due punti a e b, vanno cancellati dall'enumerazione iniziale per evitare che ci siano "doppioni", oppure si possono scegliere a e b non razionali.

sqrt2 ha scritto:oppure si possono scegliere a e b non razionali.

Beh no, li avevo chiesti razionali.

ma_go ha scritto:siccome non mi viene come formalizzare una costruzione esplicita

E quella che hai fatto che cos'è?