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x piever..potresti postare la tua soluz?:-)a occhio pare che funzione cmq!

Allora, poniamo $ f(x)=(1-x)^{1-x}-x^x $

Il minimo valore di f(x) in un intervallo, o e' uno degli estremi o e' un punto di annullamento della derivata. Se e' negli estremi abbiamo risolto, in quanto:

$ \displaystyle\lim_{x\to 0} f(x)=0 $ e $ \displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=0 $

Se invece e' in un punto di annullamento della derivata, avremo che in quel punto la derivata seconda e' nonnegativa, quindi:

$ \displaystyle f''(x)=\frac{(1-x)^{1-x}}{1-x}-(1+\ln(1-x))^2(1-x)^{1-x} $$ \displaystyle -\frac{x^x}{x}-(1+\ln(x))^{2}x^x\ge 0 $

Quindi $ \displaystyle \frac{(1-x)^{1-x}}{1-x}>\frac{x^x}{x} $ ma $ 1-x\ge x $, per cui $ (1-x)^{1-x}>x^x $ e abbiamo concluso.

piever ha scritto:uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

Se $ x\in \left ]0,\frac 1 2 \right] $ direi che $ x \le 1-x $ e quindi è naturale che $ x^x \le (1-x)^{1-x} $, con l'uguaglianza solo nel caso $ x=\frac 1 2 $.

Infatti se $ x<y $, $ x^x<y^x<y^y $.


Ps: direi che si possa considerare non analitica...

FeddyStra ha scritto:

piever ha scritto:uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

Se $ x\in \left ]0,\frac 1 2 \right] $ direi che $ x \le 1-x $ e quindi è naturale che $ x^x \le (1-x)^{1-x} $, con l'uguaglianza solo nel caso $ x=\frac 1 2 $.

Infatti se $ x<y $, $ x^x<y^x<y^y $.


Ps: direi che si possa considerare non analitica...

Guarda il post di leblanc della pagina prima

mitchan88 ha scritto:

FeddyStra ha scritto:

piever ha scritto:uhm, se non ho completamente cannato la dimostrazione, per x nell'intervallo $ \displaystyle(0,\frac{1}{2}) $ si ha una tesi un po' piu' forte, cioe':

$ \displaystyle x^x<(1-x)^{1-x} $

Ma onestamente non credo ci sia una soluzione non analitica, anche se sarei curioso di vederla...

Se $ x\in \left ]0,\frac 1 2 \right] $ direi che $ x \le 1-x $ e quindi è naturale che $ x^x \le (1-x)^{1-x} $, con l'uguaglianza solo nel caso $ x=\frac 1 2 $.

Infatti se $ x<y $, $ x^x<y^x<y^y $.


Ps: direi che si possa considerare non analitica...

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Ehi, ho un fantastico emulatore!... Federico, Federico, non cadere anche tu negli errori dei brocchi come il sottoscritto!!