OliForum Matematico

L'interpretazione geometrica delle coordinate geografiche terrestri non mi sembra così terribile... se ne dovrebbe parlare anche nello studio di geografia astronomica in genere...

Bye,
#Poliwhirl#

@Poliwhirl: molto carino, infatti l'ho sbagliato calcolando l'area del triangolo come b*h invece che b*h/2!

maledizione!

Molto carino quello del triangolo, seguito da quello di Eulero, la cui difficoltà maggiore era capire il testo.

Quello che mi lascia dubbioso e se quest'uguaglianza può essere valida...

$ \displaystyle \int_0^t arctg(e^x)dx = \int_1^{e^t} arctg(x)dx $

(l'ho messa nel primo problema)

Voi che dite?

purtroppo no
posto $ ~u=e^x\Rightarrow x=\ln{u}\Rightarrow \textrm{d}x=\frac{\textrm{d}u}{u} $
$ $\int_0^t \arctan(e^x)\textrm{d}x = \int_1^{e^t} \frac{\arctan(u)}{u}\textrm{d}u$ $

in parole povere: dato che stiri l'intervallo di integrazione, devi correggere l'integrando

No scusami Skz ma ho scritto un po' di cavolate...
L'arctg era la funzione già integrata!
Li odio gli integrali, si vede?

Per evitare confusioni:
L'integrale originario era

$ \displaystyle \int_0^t \frac {1}{e^x+e^{-x}} $

E dopo molti passaggi confusionari che vi risparmio ho dato come soluzione:
(non so se si sciva cosi con il Tex)

$ \displaystyle [arctg(e^x)]_0^t = arctg(e^t) - \pi/4 $

Poliwhirl ha scritto:Secondo me, rispetto gli scarsi standard della maturità, questo era carino:
"Si scelga a caso un punto P all'interno di un triangolo equilatero il cui lato ha lunghezza 3. Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1."

Sono d'accordo anche a me è piaciuto molto

Zoidberg ha scritto:E dopo molti passaggi confusionari che vi risparmio ho dato come soluzione
$ \displaystyle [arctg(e^x)]_0^t = arctg(e^t) - \pi/4 $

Se ti può interessare io ho risolto così:

$ \displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty} \displaystyle \int_0^t \frac {1}{e^x+e^{-x}} = $$ \displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty} \left[ arctg(e^x) \right] _0^t = $
$ \displaystyle \lim_{t \rightarrow +\infty} \left[ arctg(e^t)- \frac{\pi}{4}\right]=\lim_{z \rightarrow +\infty}arctg(z)- \frac{\pi}{4} $$ \displaystyle = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4} $

$ \displaystyle z= e^t $
E per $ \displaystyle t \rightarrow +\infty $ anche $ \displaystyle z\rightarrow +\infty $

La nostra prof ci ha insegnato a fare così; in parole povere ho fatto un cambio di variabile nel limite

No ok per il limite ci siamo, quello che mi interessava sapere è se si può dire che

$ \displaystyle [arctg(e^x)]_0^t = [arctg(x)]_1^{e^t} $

A me sembrerebbe giusto lo stesso, ma dato che io ho scritto come soluzione $ \displaystyle [arctg(e^x)]_0^t $ mentre tutte le soluzioni ufficiali danno come risultato $ \displaystyle [arctg(x)]_1^{e^t} $ qualche dubbio mi viene.

perchè era incomprensibile il quesito di Eulero? Era l'unico bello, a parte quello della probabilità del punto P...
Poi per il quesito della quadratura, sono riuscito a guardare nel vocabolario di matematica che avevo in cartella (ricevuto alle premiazioni delle provinciali delle olimpiadi ) ...e ho scritto perfino la data della scoperta del Pi irrazionale trascendentale (1882)

cmq il geometrico era impossibile, ho fatto una facciata di calcoli trigonometrici per disfarmi di alfa!!!! (sono negato in trigonometria, perchè se posso cerco strade alternative ) ...ho perso un sacco di tempo!!

insomma il 15 lo dovrò salutare... ...a meno che il prof. non tralasci la miriade di imprecisioni, e il disordine!!
Ed era l'unica certezza delle maturità!!!

Mi sono dimenticato che l'operazione binaria di un gruppo deve essere associativa XD
Vabbè mi consolo che l'hasbaglaito pure leblanc

Io sono del corso ordinario e ho fatto il primo problema - che coincideva col secondo del PNI - e i quesiti 2, 3, 5, 6 e 8.

Trovare quella funzione era potentissimo, ho chiesto 4 fogli di protocollo per rivedere tale procedimento
Ringrazio la formula del binomio di Newton, che mi ha salvato dall'intraprendere esercizi rognosi e calcolosi...
Ho sbagliato l'asintoto obliquo...Causa 40 gradi e svarioni ho fatto giusta la m ma appena ho trovato un'altra forma indeterminata ho buttato q=0...Zero voglia di fare altri calcoli...'Ma sì sarà lui'

Nonostante questo sono proprio contento, per me intendo...Per molta gente, anche insospettabile, è stato uno sfacelo...Mi chiedo se nessuno avesse potuto prevedere ciò, leggendo il testo di questo tema...Non capisco perchè mettere cose del genere in un esame di maturità quando l'anno scorso il primo problema del corso ordinario si faceva in 20 minuti e può tranquillamente essere paragonabile alla successione dei tre quesiti più facili di quest'anno, come difficoltà.

Il tema di matematica più difficile degli ultimi anni, secondo me. Confermate?

Zoidberg ha scritto:No ok per il limite ci siamo, quello che mi interessava sapere è se si può dire che

$ \displaystyle [arctg(e^x)]_0^t = [arctg(x)]_1^{e^t} $

A me sembrerebbe giusto lo stesso, ma dato che io ho scritto come soluzione $ \displaystyle [arctg(e^x)]_0^t $ mentre tutte le soluzioni ufficiali danno come risultato $ \displaystyle [arctg(x)]_1^{e^t} $ qualche dubbio mi viene.

Ah ok, scusa non avevo capito
Il mio parere è che è corretto, al massimo il/la prof ti può contestare un po' la forma se hai scritto i due passaggi così uno dopo l'altro senza spendere almeno una riga di commento. Comunque penso che dipenda dal commissario, ma fossi in te sarei fiducioso (preparati al massimo per l'orale se ti chiede delucidazioni in merito)

Adesso rimaniamo in attesa di giudizi più autorevoli dei miei

Zok ha scritto:non era detto rispetto a quale operazione doveva essere un gruppo...

Un gruppo di funzioni è un insieme di funzioni interne per composizione e tali che ognuna ha la sua inversa. Credo che si dovesse dimostrare questo per le omotetie di centro fissato.

pic88 ha scritto:

Zok ha scritto:non era detto rispetto a quale operazione doveva essere un gruppo...

Un gruppo di funzioni è un insieme di funzioni interne per composizione e tali che ognuna ha la sua inversa. Credo che si dovesse dimostrare questo per le omotetie di centro fissato.

L'associativa, l'associativa...

In una dispensa di Arkadii Slinko (nn so se sia giusta la grafia) si dice che un insieme di funzioni è un gruppo se valgono quelle robe di sopra.

EDIT: Aggiungo anche la definizione formale di gruppo dalla Wikipedia:

A group (G, *) is a set G with a binary operation * that satisfies the following four axioms:
* Closure : For all a, b in G, the result of a * b is also in G.
* Associativity: For all a, b and c in G, (a * b) * c = a * (b * c).
* Identity element: There exists an element e in G such that for all a in G, e * a = a * e = a.
* Inverse element: For each a in G, there exists an element b in G such that a * b = b * a = e, where e is an identity element.

[...]

Also note that a group (G,*) is often denoted simply G where there is no ambiguity in what the operation is.


Veniamo al nostro caso. Possiamo immaginare i vari a, b come delle funzioni, e l'operazione * come l'operazione di composizione, la cui associatività è un fatto noto. Quindi il nocciolo del problema era dimostrare che la composizione di due omotetie è un'omotetia, e che ogni omotetia ha la sua inversa.
Quindi non ho capito l'osservazione di Mitchan88...