Ma sei sicuro che quella funzione ricorsiva porti a f(7)=34 ?
A me viene un altro valore...
Ammissione Normale 2007. Quesito Fresco Fresco
piever ha scritto: $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ per $ n\ge 3 $ con $ f(0)=1 $, $ f(1)=2 $ e $ f(2)=3 $
La funzione ricorsiva che genera i numeri di Fibonacci è data daZoidberg ha scritto: $ f(n) $ dovrebbe essere l'ennesimo numero di Fibonacci.
$ f(n)=f(n-1)+f(n-2) $ con $ n=2,3,4... $ ed è esplicitata da:
$ \displaystyle f(n)=\frac{1}{\sqrt5}\left\{{\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)}^n\right\} $
Non so se le due si equivalgano.
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell
Neanch'io ci avevo fatto caso all'inizio!piever ha scritto:non ci avevo fatto caso, complimenti per l'occhio zoidberg...
Me l'hanno fatto notare più illustri colleghi!
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando dell'associazione "Matematici per la messa al bando del Sudoku" fondata da fph" fondata da Zoidberg
Ragazzi ho risolto l'esercizio e in effetti mi viene $ \displaystyle \frac{34}{128} $ ma non ho capito la soluzione di piever...? 
Come mai la probabilità si puo' calcolare così?
(scusate l'ignoranza)
Come mai la probabilità si puo' calcolare così? (scusate l'ignoranza)
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Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Io abolirei e bannerei a vita tutti quelli che postano cose del tipo "ciao io ho fatto questo problema e ho risolto così, non sono strafigo?"
Premetto che per me la combinatoria è una scienza oscura... comunque potresti spiegarmi che ragionamento hai fatto in questo passaggio?Russell ha scritto:2° CASO: I distributori chiusi sono 3
Allora i distributori aperti sono 4, e tra due di essi vi è al più un distributore chiuso. Schematizziamo la sequenza in questo modo: XAXAXAXAX (dove 2 X sono ovviamente vuote). Gli ordinamenti favorevoli sono dati da $ {5\choose3} =10 $ (altri 10 ordinamenti)
Imagination is more important than knowledge.
Knowledge is limited.
Imagination encircles the world.
[b:rwrggxcy]Albert Einstein[/b:rwrggxcy]
Knowledge is limited.
Imagination encircles the world.
[b:rwrggxcy]Albert Einstein[/b:rwrggxcy]
Agi:
Chiama a(n) la probabilita' di arrivare dopo n*100 chilometri con il serbatoio vuoto e b(n) quella di arrivare col serbatoio a meta'.
Se il distributore e' aperto puoi fare il pieno e usare meta' della tua autonomia per percorrere i successivi 100 chilometri, quindi a(n+1)=b(n)/2;
se il distributore e' chiuso, puoi proseguire solo se hai ancora della benzina, consumandola tutta, quindi b(n+1)=(a(n)+b(n))/2.
Per toglierti quel fastidioso fattore due puoi considerare A(n)=a(n)*2^n e B(n)=b(n)*2^n. Ora hai A(n+1)=B(n) e B(n+1)=A(n)+B(n), quindi B(n+2)=B(n+1)+B(n).
:)
PS: umma e grane, bella soluzione fare le tabeline dei casi... :p
Chiama a(n) la probabilita' di arrivare dopo n*100 chilometri con il serbatoio vuoto e b(n) quella di arrivare col serbatoio a meta'.
Se il distributore e' aperto puoi fare il pieno e usare meta' della tua autonomia per percorrere i successivi 100 chilometri, quindi a(n+1)=b(n)/2;
se il distributore e' chiuso, puoi proseguire solo se hai ancora della benzina, consumandola tutta, quindi b(n+1)=(a(n)+b(n))/2.
Per toglierti quel fastidioso fattore due puoi considerare A(n)=a(n)*2^n e B(n)=b(n)*2^n. Ora hai A(n+1)=B(n) e B(n+1)=A(n)+B(n), quindi B(n+2)=B(n+1)+B(n).
:)
PS: umma e grane, bella soluzione fare le tabeline dei casi... :p
"Nevermore"
Accidenti che occhio! Io avrei potuto calcolarmi i primi cento termini della ricorsione e non accorgermi che quelli che venivano fuori erano i numeri di Fibonacci... 
Comunque, in generale, per esplicitare una ricorsione tipo la successione di Piever $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ basta osservare che se $ x $ e' una radice dell'equazione $ x^n=2x^{n-1}-x^{n-3}=0 $, ovvero dell'equazione
$ x^{n-3}(x^3-2x^2+1)=0 $, allora la successione $ f(n)=x^n $ soddisfa proprio la ricorrenza data. Inotre, se $ f_1(n) $ e $ f_2(n) $ soddisfano la ricorsione data, allora anche $ f(n)=a\,f_1(n)+b\,f_2(n) $ soddisfa la ricorsione data, per ogni scelta delle costanti $ a $ e $ b $. Indichiamo allora con $ \xi_1,\xi_2,\xi_3 $ le tre radici (in generale saranno complesse, anche se in questo esempio particolare sono in effetti tutte e tre reali) di $ x^3-2x^2+1=0 $. Per ogni scelta dei parametri $ a,b,c $, la succesione $ f_{a,b,c}(n)=a\, {\xi_1}^n+b\,{\xi_2}^n+c\,{\xi_3}^n $ soddisfa la ricorsione. A questo punto basta determinare $ a,b,c $ imponendo i valori iniziali $ f_{a,b,c}(0)=1,f_{a,b,c}(1)=2,f_{a,b,c}(2)=3 $ (si tratta semplicemente di risolvere un sistema lineare; se le radici dell'equazione sono tutte distinte come in questo caso il sistema e' sempre risolubile) per determinare completamente la formula esplicita per la successione.
(forse questo post andrebbe scritto un po' meglio, espanso magari dicendo cosa fare quando l'equazione associata alla ricorsione ha radici coincidenti, e spostato nella sezione "tecniche di base"; mi affido ai moderatori)
Comunque, in generale, per esplicitare una ricorsione tipo la successione di Piever $ f(n)=2f(n-1)-f(n-3) $ basta osservare che se $ x $ e' una radice dell'equazione $ x^n=2x^{n-1}-x^{n-3}=0 $, ovvero dell'equazione
$ x^{n-3}(x^3-2x^2+1)=0 $, allora la successione $ f(n)=x^n $ soddisfa proprio la ricorrenza data. Inotre, se $ f_1(n) $ e $ f_2(n) $ soddisfano la ricorsione data, allora anche $ f(n)=a\,f_1(n)+b\,f_2(n) $ soddisfa la ricorsione data, per ogni scelta delle costanti $ a $ e $ b $. Indichiamo allora con $ \xi_1,\xi_2,\xi_3 $ le tre radici (in generale saranno complesse, anche se in questo esempio particolare sono in effetti tutte e tre reali) di $ x^3-2x^2+1=0 $. Per ogni scelta dei parametri $ a,b,c $, la succesione $ f_{a,b,c}(n)=a\, {\xi_1}^n+b\,{\xi_2}^n+c\,{\xi_3}^n $ soddisfa la ricorsione. A questo punto basta determinare $ a,b,c $ imponendo i valori iniziali $ f_{a,b,c}(0)=1,f_{a,b,c}(1)=2,f_{a,b,c}(2)=3 $ (si tratta semplicemente di risolvere un sistema lineare; se le radici dell'equazione sono tutte distinte come in questo caso il sistema e' sempre risolubile) per determinare completamente la formula esplicita per la successione.
(forse questo post andrebbe scritto un po' meglio, espanso magari dicendo cosa fare quando l'equazione associata alla ricorsione ha radici coincidenti, e spostato nella sezione "tecniche di base"; mi affido ai moderatori)
I'm the best there is at what I do. But what I do best isn't very nice.
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_Francesca_
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- Iscritto il: 23 nov 2007, 23:26
Premettendo che non credo sarei riuscita a risolverlo, ho letto e capito la soluzione di Russell e degli altri, che penso proprio sia giusta. Solo una domanda, e scusate se vi risulta banale. Il fatto che ci sia il 50% delle probabilità di trovare il distributore aperto/chiuso, non influisce affatto sulla soluzione? Se non influisce, è forse perché appunto le probabilità di trovarli aperti o di trovarli chiusi sono uguali?
Che genere di soluzione avrei ottenuto se, invece, la probabilità che ogni distributore fosse aperto, fosse stata (ad esempio) del 75%?
Che genere di soluzione avrei ottenuto se, invece, la probabilità che ogni distributore fosse aperto, fosse stata (ad esempio) del 75%?