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Allora...
diciamo che le tre tangenze sono i tre punti razionali $ q_1\leq q_3\leq q_3 $.
Avremo, come dici, le equazioni
$ (q_3-q_1)^2=4r_1r_3 $
$ (q_2-q_3)^2=4r_2r_3 $
$ (q_2-q_1)^2=4r_1r_2 $
$ (q_2-q_3)+(q_3-q_1)=(q_2-q_1) $
da queste si ricava una formula per q_3 in funzione di q_1,q_2,r_1,r_2.
Inoltre, si ricava pure una formula per r_3 in funzione dei soli r_1,r_2.
Queste formule non portano certo ad una immediata risoluzione del problema, però ti permettono di ricavare un po' di numeri e di vedere in che ordine vengono prodotti i razionali.
Ti consiglierei di procedere come segue: chiama $ C_1 $ l'insieme delle due circonferenze che tangono in 0 e in 1 e hanno raggio 1/2.
Chiama $ C_2 $ l'insieme delle circonferenze che tangono le circonferenze di C_1 e la retta. Chiama $ C_3 $ le circonferenze che tangono due tra le circonferenze in $ C_1\cup C_2 $ e la retta.
Chiama $ C_i $ l'insieme delle circonferenze che tangono due tra le circonferenze di $ C_1\cup\ldots\cup C_{i-1} $ e la retta (e non sono in qualche insieme precedente).
Per i=1,2,3,4 e forse anche 5, prova a guardare quali sono i razionali di tangenza dell'insieme C_i.

Avevo pensato anch'io di costituire una "gerarchia" tra i razionali (i cui livelli corrisponderebbero ai tuoi insiemi $ C_i $), ma non mi ero spinto a calcolare fino al 5°!
Ero arrivato alla circonferenza di raggio $ \frac18 $ che tange in $ \frac12 $...
Domani pomeriggio avrò tempo e ci proverò.